Bài giảng Hình học 12 - Tiết 1, Bài 2: Phương trình mặt phẳng

 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Tiết 29 Chào Mừng Các Em Đến Với Bài Học 
Bài 2
 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Tiết 1 KIỂM TRA VIỆC CHUẨN BỊ BÀI
 Câu hỏi 1:
Trong kg Oxyz cho 2 vectơ a==( a1; a 2 ; a 3) , b ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) 
Nhắc lại biểu thức tọa độ tích vô hướng của 2 vectơ đó? Nhận xét gì 
về 2 vectơ khi tích vô hướng của chúng bằng 0 ?
 ĐÁP ÁN
 a.b= a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
 ab .= 0 a ⊥ b •Lớp 10 ta đã biết vec tơ phápr tuyến của 
n đường thẳng là vec tơ khác 0 có giá vuông 
 góc với đường thẳng đó 
 ∆
 Vậy trong không gian ta có định nghĩa 
 nào tương tự như thế không ? §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
 Chon mặt phẳng() .Vectơ khác 0 
 và có giá vuông góc với mặt phẳng 
 thì được gọi là vectơ pháp tuyến 
 của mặt phẳng . §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
 Định nghĩa:
Cho mặtn phẳng ().Vectơ khác và0 có 
giá vuông góc với mặt phẳng thì được 
gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
 Chú ý:
 *Nếu là VTPT của một mặt phẳng thì kn ( k 0 , )
 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
 * Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm 
 thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó. §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Bài Toán 
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP Trong kg Oxyz cho mp và hai vectơ không 
 r
 ì r cùng phương a == ( a ; a ; a ), b ( b ; b ; b ) có giá song song 
r ï n ¹ 0 1 2 3 1 2 3
n lµ vtpt cña (a )Û í r hoặc nằm trong mặt phẳng () .Chứng minh rằng mặt phẳng 
 ï gi¸ n ^ (a )
 r î
 ïì r nhận vectơ n =(;;) ab − abab − abab − ab làm VTPT. 
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng 23 3231 1312 21
 íï r
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a )
 rrr
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT.
 Vec tơ n xác định như trên được gọi là tích có hướng 
 n= ab,
 (hay tích vec tơ) của hai vec tơ a và b kí hiệu là 
 hoặc n = a b §2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP Bài Toán
 r
 ì r
r ï n ¹ 0 Trong không gian Oxyz cho mp( ) qua điểm M0(x0; y0; z0) 
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a ) và có vectơ pháp tuyến là n = (A;B;C) 0. Hãy tìm điều kiện 
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng ( ) 
 íï r
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a )
 rrr M0 M=( x − x 0;; y − y 0 z − z 0 ) M
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. MM0 = ?
 Giải: n
 =n.M M 0
 M() ?n⊥ M0 M 0
 M
 ) 0
 A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz +− (Ax0++ By 0 Cz 0 ) = 0
 D
 D= − (Ax0 + By 0 + Cz 0 )
 222
 A+ B + C 0 §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP
 r
 ì r Ví dụ 1:
r ï n ¹ 0
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a ) Trong kg Oxyz cho mp (α): 2x – y – 3z + 2 = 0 
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng n
 íï r a) Tìm 1 VTPT của mp (α)
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a )
 rrr b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. M(1;2;-1) và nhận n làm VTPT. 
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 Giải:
 ( ) có vtpt n = (A; B;C) a) n=( 2;-1;-3)
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt n = (A; B;C) b) (P): 2(x-1) – (y-2) – 3(z+1)=0
pt( ):A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 2x – y - 3z - 3=0 
 (D= − Ax0 − By 0 − Cz 0 ) §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP 2. Các trường hợp riêng:
 r
 ì r
r ï n ¹ 0 z
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a ) Trong khoâng gian cho Oxyz cho mp 
 r î
 ì r α) : 
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng ( Ax + By + Cz + D = 0 (1)
 íï r
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a )
 rrr *TH 1: D=0 
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. Khi mặt phẳng đi 
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP qua O(0;0;0). Tìm 
 Phương trình (1) có O
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 dạng : giáAx +trị By của + CzD? = 0 y
 ( ) có vtpt n = (A; B;C) α
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) Mp (α) ®i qua gèc to¹ ®é
( ) x
 có vtpt n = (A; B;C) x
pt( ):A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz + D = 0
 (D= − Ax0 − By 0 − Cz 0 ) §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP 2. Các trường hợp riêng:
 r
 ì r
r ï n ¹ 0 *Tương tự : B = (α): Ax + Cz + D = 0 z
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a ) 0
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng
 íï r é(a )/ /Oy
 ï r j y
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a ) Þ ê O
 rrr ê
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. ëê(a )É Oy
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP x
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 * C = 0 (α): Ax + By + D = 0 z
 ( ) có vtpt n = (A; B;C)
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt n = (A; B;C) é(a )/ /Oz
pt( ):A(x − x) + B(y − y) + C(z − z) = 0 ê y
 0 0 0 Þ
 ê O k k
 Ax + By + Cz + D = 0 ëê(a )É Oz
 (D= − Ax0 − By 0 − Cz 0 )
 x §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP 2. Các trường hợp riêng:
 r
 ì r
r ï n ¹ 0 * A = C = 0 (α): By + D = 0 z
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a )
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng é(a )/ /( Oxz)
 íï r
 ï r Þ ê
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a ) ê O
 rrr (a )º (Oxz)
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. ëê y
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 * B = C = 0 (α): Ax + D = 0 x z
 ( ) có vtpt n = (A; B;C)
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt é(a )/ /( Oyz)
 n = (A; B;C) ê
pt( ):A(x − x) + B(y − y) + C(z − z) = 0 Þ
 0 0 0 ê O
 Ax + By + Cz + D = 0 ëê(a )º (Oyz) y
 (D= − Ax0 − By 0 − Cz 0 )
 x §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 II.PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP 2. Các trường hợp riêng:
 r
 ì r
r ï n ¹ 0
n lµ vtpt cña (a )Û í r
 ï gi¸ n ^ (a ) Mặt phẳng đi qua 
 r î
 ì r z
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng
 íï r các điểm A(a;0;0), 
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a ) C c
 rrr
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. B(0;b;0), C(0;0;c) 
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP với a, b,c≠0 có B y
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 O b
 ( ) có vtpt n = (A; B;C) A
 phương trình theo a
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt n = (A; B;C) đoạn chắn là. x
pt( ):A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz + D = 0 xzy
 D= − Ax − By − Cz
 ( 0 0 0 ) + + =1
 a b c §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP
 r
 ì r Câu 1. Mặt phẳng có phương 
r ï n ¹ 0
n lµ vtpt cña (a )Û í r trình 2x – 5y – z + 1 = 0 có 
 ï gi¸ n ^ (a ) Heát giôø
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng vectơ pháp tuyến nào sau đây?
 íï r
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a ) r r
 rrr A. n =(2; -5;-1). B. =(2;-5; 0).
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. 1 n2
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP r r
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 C. n 3 =(2; -5; 1). D. n 4 =(2; 5; 1).
 ( ) có vtpt n = (A; B;C)
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt n = (A; B;C)
pt( ):A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz + D = 0
 (D= − Ax0 − By 0 − Cz 0 ) §§2.2. PHƯƠNGPHƯƠNG TRÌNHTRÌNH MẶTMẶT PHẲNGPHẲNG
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I.VEC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MP
 r
 ì r Câu 3. Cho mặt phẳng (Q) có
r ï n ¹ 0
n lµ vtpt cña (a )Û í r phương trình x-y+3z-1=0. Điểm
 ï gi¸ n ^ (a ) Heát giôø
 r î
 ì r
 ï a,b kh«ng cïng ph­¬ng nào sau đây thuộc mặt phẳng(Q)? 
 íï r
 ï r
 îï a,b có gi¸ // hoÆc n»m trong (a )
 rrr A. M 1;− 1;3 . B. M( 1;3;1) .
 Þ( a ) nhËn n = [a,b] lµm VTPT. 1 ( ) 2
 II. PT TỔNG QUÁT CỦA MP M 1;−− 1; 3 .
pt ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 C. M3 ( 1;1;3) . D. 4 ( )
 ( ) có vtpt n = (A; B;C)
 điqua M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
( ) 
 có vtpt n = (A; B;C) HD: 
 Thay trực tiếp tọa độ các điểm M1, M2, 
pt( ):A(x − x)0 + B(y − y) 0 + C(z − z) 0 = 0
 Ax + By + Cz + D = 0 M3, M4 vào phương trình mặt phẳng, ta 
 (D= − Ax − By − Cz )
 0 0 0 thấy chỉ có tọa độ M2 thỏa mãn.