Bài giảng Toán 11 - Bài 5: Khoảng cách

 Nhiệt liệt chào mừng thầy cụ và cỏc em!
 Bài giảng: Khoảng Cỏch. Bài 5: KHOẢNG CÁCH Trong cỏc khoảng cỏch từ điểm O đến một điểm 
 bất kỡ thuộc mặt phẳng (P), khoảng cỏch nào là 
 nhỏ nhất ?
 Giải
Với N bất kỡ thuộc (P) và H là hỡnh O a
chiếu của O trờn (P) thỡ 
 H
 d(O ; (P)) = OH ON. N
 Dấu “=“ xảy ra khi nào? 
 Khi N  H
 Chỳ ý: Vậy khoảng cỏch này là nhỏ nhất so với 
 cỏc khoảng cỏch từ O đến một điểm bất kỡ 
 thuộc mặt phẳng (P).
 Cũng cõu hỏi như trờn nếu thay mặt 
 phẳng (P) bởi đường thẳng ? Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a,
 SA ⊥ (ABCD) , SA=a. Gọi AH là đường cao của SAB. 
 b) Khoảng cỏch giữa A và SB là 
 Nhắc lại:
 Để tớnh khoảng cỏch •Vỡ AH ⊥ (SBC) AH ⊥ SB 
 từ điểm A đến mặt H là hỡnh chiếu của A S
 phẳng (P) trờn SB.
 H
 d( A, SB) = AH. A D
Bước 1: Tỡm hỡnh •Xột vuụng SAB cú:
chiếu H của A trờn (P) 
 1 B C
 AH= 2 SB
 1
 SA2 + AB2
 = 2
Bước 2: Tớnh AH ? 1 a 2
 = a2 + a2 =
 2 2
 a 2
 •Vậy: d(A, SB ) = Chọn đỏp số B
Bước 3: Kết luận. 2 2. Khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song, giữa hai mặt phẳng song song.
 A a
Định nghĩa 2:
 Khoảng cỏch giữa đường 
 thẳng a và mặt phẳng (P) 
 song song với a là khoảng 
 cỏch từ một điểm nào đú A'
 của a đến mặt phẳng (P).
 Kớ hiệu : d (a,(P)) P 2. Khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song2. song,Khoảng giữa cách hai gi ữmặta hai phẳng mặt phẳngsong song.song song
Định nghĩa 3:
 Khoảng cỏch giữa hai mặt 
 M
 phẳng song song là khoảng β
 cỏch từ một điểm bất kỡ của 
 mặt phẳng này đến mặt 
 phẳng kia.
 M’
 Kớ hiệu giữa hai mặt phẳng song 
 song ( ) và (β) là 
 d ( ( ),(β) ) = d ( M ; (β) ) Vớ dụ
 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, 
 SA ⊥ (ABCD) , SA=a. Gọi .AH là đường cao của SAB. 
 a)Chứng minh AH ⊥ (SBC)? 
 S
b) Khoảng cỏch giữa CD và (SAB) là:
 a 2
 a 2 a 3 H
A. a B. 2 C. D. A D
 B C Bài 5: Khoảng Cỏch
Cần nắm:
 1) Khoảng cỏch từ một 
 điểm đến một mặt phẳng 
 ( đường thẳng)
 2) Khoảng cỏch giữa 
 đường thẳng và mặt 
 phẳng song song, giữa 
 hai mặt phẳng song song. 3. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau.
 Đường thẳng c núi trờn được gọi là đường I b
 Trong cỏc khoảng cỏch giữa 
 vuụng gúc chung của hai đường thẳng chộo 
 hai điểm bất kỡ lần lượt nằm 
 nhau. Với điểm M thuộc a vàc 
 trờn hai đường thẳng chộo 
 điểm N thuộc b, ta kẻ 
 Nếu đườngnhau, vuụng khoảng gúc chung cỏch cắtnào cả là hai đường 
 MN⊥ (P) thỡ MN = IJ 
 thẳng chộo nhau nhỏtại I vànhất? J thỡ đoạn IJ gọi là đoạn 
 Mặt khỏc MN MK. J
 vuụng gúc chung của hai đường thẳng đú. a
 Vậy IJ MK
 M
 a I Q
 Định nghĩa 4:
Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng c
chộo nhau là độ dài đoạn vuụng gúc 
chung của hai đường thẳng đú.
 a’ b N
 P J K 3. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau.
 So sỏnh khoảng cỏch hai đường thẳng 
 chộo nhau với khoảng cỏch giữa hai mặt 
 phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đú?
 Nhận xột 2:
 I b
 Khoảng cỏch hai đường thẳng Q
chộo nhau bằng khoảng cỏch giữa hai 
mặt phẳng lần lượt chứa hai đường c
thẳng đú.
 J a
 P Cỏch xỏc định đường vuụng gúc chung của 
 hai đường thẳng chộo nhau 
 • Cỏch 1:
 Cho a và b chộo nhau.
 B M b
 B1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a và 
 (P) song song với b.
 B2: Chọn M trờn b, dựng MM’ vuụng a
 gúc với (P) tại M’
 P b’ A M’
 B3:Từ M’ dựng b’ // và cắt a tại A.
 B4: Từ A dựng AB song song với MM’ cắt b tại B.
Khi đú AB là đoạn vuụng gúc chung cần tỡm. A
Trong OAK vuụng 
 a 2 a 5
Ta cú AK = OA2 + OK 2 = a 2 + =
 4 2
 A L
Ta cú OL.AK = OK.OA 
 K
 a O
 .a
 OK.OA a 5
 OL = = 2 =
 AK a 5 5 L E
 2 C
 O F
 K H
 B
 a 5
 Vỡ OLEF là hỡnh chữ nhật EF = OL =
 5 4. Một số vớ dụ
Vớ dụ 2: 
 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, 
 SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường 
 thẳng S
 a) SC và BD b) AC và SD 
 Giải: 
 a) Gọi O = AC  BD 
 •Ta cú: (SAB) ⊥ BD tại O. A
 H B
•Trong mp(SAC) kẻ OH ⊥ SC (1) O
 BD ⊥ AC (gt) 
 D C
 BD ⊥ SA (gt) BD ⊥ (SAC)
 OH  (SAC) BD ⊥ OH (2) 
 Từ (1) và (2) OH là đường vuụng gúc chung 
 Vậy d(SC,BD) = OH b) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và SD 
 • Kẻ Dt // AC AC // (S,Dt) d(AC,SD) = d(AC;(S,Dt)) (1)
 S
 • Kẻ AM ⊥ Dt Dt ⊥ (SAM) 
 Dt ⊥ SA 
 • Trong mp(SAM) kẻ AN ⊥ SM
 Vỡ AN  (SAM) AN ⊥ Dt
 AN ⊥ (S,Dt) N
 A
 d(A;(S,Dt)) = AN (2) B
 M
 từ (1) và (2) d(AC,SD) = AN O
 Ta cú AM = OD = a 2 D C
 2 2
 1 1 1 1 1 3 2 a
Và = + = + 2 =t AN =
 AN 2 AS 2 AM 2 a 2 a 2 a 2 3
 a 3 
 Vậy d(AC,SD) = AN = 2 
 3