Bài tập ôn tập giới hạn hàm số môn Giải tích Lớp 11 - Năm học 2019-2020

 BÀI TẬP ƠN TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ GT KHỐI 11
 Ngày Soạn: 10/2/2020
 Tiết : PPCT 57
 Giới hạn của hàm số
 Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 lim x x0 ; k k nếu k chẵn
 x x lim x ; lim x 
 0 x x nếu k lẻ
 lim c c (c: hằng số)
 x x c
 0 lim c c ; lim 0
2. Định lí: x x xk
 lim f (x) L 1 1
 x x0 lim ; lim 
a) Nếu 
 lim g(x) M x 0 x x 0 x
 x x
 0 1 1
 lim lim 
 thì: * lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x
 x x
 0 2. Định lí:
* lim  f (x) g(x) L M
 x x lim f (x) L 0
 0 x x
 a) Nếu 0 thì: *
* lim  f (x).g(x) L.M lim g(x) 
 x x
 x x0 0
 f (x) L nếu L. lim g(x) 0
* lim (nếu M 0) x x
 lim f(x)g(x) 0
 x x0 g(x) M 
 x x nếuL. lim g(x) 0
 0 x x
 f(x) 0 0
b) Nếu lim f (x) L thì f (x)
 * lim 0
 x x0
 x x0 g(x)
* L 0 * lim f (x) L lim f (x) L 0
 x x0 x x
 b) Nếu 0 thì:
c) Nếu lim f (x) L thì lim g(x) 0
 x x
 x x0 0
 lim f (x) L f (x) nếu L.g(x) 0
 x x lim 
 0 x x nếu L.g(x) 0
 0 g(x)
3. Giới hạn một bên:
 0 
 lim f (x) L Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , , – , 
 x x0 0 
 lim f (x) lim f (x) L 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
 x x0 x x0
Một số phương pháp khử dạng vơ định:
 0
1. Dạng 
 0
 P(x)
a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0
 x x0 Q(x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4 12
VD: lim lim lim 3
 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4
 P(x)
b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
 x x0 Q(x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 1
 11) lim x2 sin ĐS: 0
 x 0 2
Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới 
 khi mẫu khác 0 là xong) cịn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là 
 x2 1 5 6
 1) lim ĐS: 2 x 5x 4x
 x 1 x 1 12) lim ĐS: 10
 x 1 (1 x)2
 1 
 2) lim x 2 ĐS: -1 4x 6 5x 5 x
 x 0 x 13) lim ĐS: 0
 x 1 x 2 1
 x3 8
 3) lim . ĐS: 3 2 1 
 x 2 x2 4 14) lim ĐS: -1/2
 x 1 2 
 2 x 1 x 1 
 3x 4x 1
 4) lim ĐS: 2 1 3 
 x 1 x 1 15) lim ĐS: -1
 x 1 3 
 2x 2 3x 2 1 x 1 x 
 5) lim ĐS: 5
 x 2 x 2 x 2 x 4 
 16) lim 2 2 ĐS: 0
 x4 16 x 1 x 5x 4 3(x 3x 2) 
 6) lim ĐS: -8
 3 2 x1992 x 2
 x 2 x 2x 17) lim ĐS: 1993/1992
 x 1 1990
 x3 x2 x 1 x x 2
 7) lim ĐS: 0 xm 1
 x 1 x2 3x 2 18)lim chú ý tổng của CSN ĐS: m/n
 n
 x 3 3x 2 5x 3 x 1 x 1
 8) lim ĐS:1
 2 (1 5x)(1 9x) 1
 x 1 x 1 lim ĐS: 14
 1 x x2 x3 x 0 x
 9) lim ĐS: 2 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1
 x 1 1 x 19) lim ĐS: 6
 x 3 5x 2 3x 9 x 0 x
 10) lim ĐS: 0 2 n
 x 3 x 4 8x 2 9 x x ... x n
 20) lim ĐS: n(n+1)/2
 x5 1 x 1 x 1
 11) lim ĐS: 5/3 n
 3 x nx n 1
 x 1 x 1 21) lim ĐS: n(n-1)/2
 x 1 (x 1)2
Bài 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
 2 x 3
 4x 1 3 5) ĐS: -1/56
 1)lim ĐS:1/6 lim 2
 x 2 x2 4 x 7 x 49
 2x 7 x 4
 1 x2 1 6) lim ĐS: -4/15
 2) lim ĐS:0 x 1 x 3 4x 2 3
 x 0 x
 x 3 3x 2
 7) lim ĐS: 9/4
 x 5 3 x 1 2
 3) lim ĐS: -1/6 x 1
 x 4 4 x 2 3
 x 3 x 3x
 x 3 8) lim ĐS:1/2
 4) lim ĐS:-1/54 x 1 x 1
 x 9 9x x2
Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
 1 x 1 x 2x 7 3
 1) lim ĐS: 1 5) lim ĐS:-4/3
 x 0 x x 1 2 x 3
 x 1 2
 2) lim ĐS:2 x x
 x 1 6) lim ĐS:3
 x 3 2 x 1 x 1
 x 2 x
 3) lim ĐS:-3/4 3 5 x
 x 2 4x 1 3 7) lim ĐS:-1/3
 x 4 1 5 x
 x 2 2
 4) lim ĐS:3/2 2x 2 3x 1
 x 2 8) lim ĐS:-1/4
 x 7 3 x 1 x 1 2
 4) lim 2x4 3x 12 .ĐS:+ x 2x
 x 22) lim ĐS: ± 
 x 2 x 2 4x 4
 2
 5) lim x 3x 4 ĐS:± 2 2x 1 
 x lim .
 24) 2 ĐS:- 
 x3 5 x 1 (x 1) 2x 3 
 6) lim ĐS:+ 
 x 2 5
 x 1 25) lim ĐS:- 
 2x3 x x 1 (x 1)(x2 3x 2)
 7) lim ĐS:+ 
 x x2 2 1 1 
 26) lim 2 . ĐS:- 
 2x 1 x 0 x x 
 8) lim ĐS:2
 x x 1 x4 1
 3x4 2x5 27) lim ĐS: + 
 9) lim ĐS:+ x 1 x3 2x2 x
 x 5x4 x 4
 1 1 
 2 28) lim ĐS:- 
 x 1 2 
 10) lim ĐS:-1/5 x 2 x 2 x 4 
 x 1 3x 5x 2
 x2 1
 3x(2x 2 1) 29) lim ĐS:1/2
 11) lim ĐS:6/5 x 2x2 x 1
 x (5x 1)(x 2 2x)
 2x2 x 1
 x x 1 30) lim ĐS:- ;+ 
 12) x x 2
 lim 2 ĐS:0
 x x x 1 2x2 1
 2 31) lim ĐS:0
 4x 1 3 2
 13) lim ĐS:-2/3; 2/3 x x 3x 2
 x 3x 1
 x2 2x 3 4x 1
 x4 x 32) lim ĐS:-1;5
 14) lim ĐS:+ x 2
 x 1 2x 4x 1 2 x
 2
 x x x 4x2 2x 1 2 x
 15) lim ĐS:-2 33) lim ĐS:3;1/5
 x x 10
 x 9x2 3x 2x
 x2 3x 2x
 16) lim ĐS:1/3 (2x 1) x2 3
 x 3x 1 34) lim ĐS:2/5
 x 2
 x 2 x 2 3x 1 x 5x
 17) lim ĐS:4; -2/3 2
 x 2 x 2x 3x
 4x 1 1 x 35) lim ĐS:4
 x x 4x2 1 x 2
 18) lim x 5 3 ĐS:1 
 x x 1 x2 5x 2
 2x2 7x 12 36) lim ĐS:+ 
 19) lim ĐS: 2 / 3 x 2 x 1
 x 3| x | 17
 2x2 x 10
 4 37) lim ĐS:0
 x 4 3
 20) lim ĐS:- x 9 3x
 x x 4
 x 4 x3 11
 4 2 lim
 2x x 1 38) ĐS:+ 
 21) lim ĐS:- x 2x 7
 x 1 2x (1 x)(1 x)2 (3 x)2
 x 2 39) lim 2 2 ĐS:1
 22) lim ĐS:-1;1 x (2 x)(3 x) (4 x)
 x 2
 x 2 x6 4x2 x 2
 40) lim ĐS:1
 3 x3 2x2 x 3 2
 23) lim ĐS:1 x (x 2)
 x 2x 2
Bài 8: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)
 2 2
 1) lim x x x ĐS:1/2 4) lim ( x 3x 2 x) ĐS:+ 
 x x 
 2
 2 5) lim x 1 x ĐS:0
 2) lim ( x x x) ĐS:+ x 
 x 
 6) lim ( x2 2x 4 x) ĐS:+ ;-1
 3) lim ( x 2 3x 2 x) ĐS:-3/2 x 
 x 7) lim ( x 2 x 2) ĐS:0
 x