Chuyên đề Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH 
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP 
 CHUYÊN ĐỀ 
 GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 
 Giáo viên: Nguyễn Hữu Tình 
 Tổ: Toán 
 Năm học: 2017 - 2018 
 II. NỘI DUNG 
1. Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 
1.1 Các định nghĩa và kí hiệu 
 a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng 1. Kí hiệu: i. 
Như vậy, i2 1. 
 b) Số phức: Cho x,, y  biểu thức z x yi gọi là một (dạng đại số) số phức. 
 x : Phần thực; y : Phần ảo 
 c) Với mỗi số phức z x yi, giá trị biểu thức x2 y 2 gọi là mô đun của z. Kí 
hiệu: z . Như vậy, z x2 y 2 . 
 d) Với mỗi số phức z x yi. Số phức z'() x y i x yi gọi là số phức liên 
hợp của số phức z. Kí hiệu z . Như vậy, z x yi thì z x yi. 
 e) Với mỗi số phức z x yi. Xác định điểm M(;) x y trên mặt phẳng tọa độ 
 Oxy . Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z. 
 Để cho tiện, trong tập tài liệu này, tôi kí hiệu M(;)() x y M z hay đơn giản 
 M() z để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức z x yi. 
1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức 
 Cho hai số phức z xyiz , ' x ' yixyxy ' .( , , ', '  , i2 1) 
 + Phép cộng: z z' ( x x ') ( y y ') i 
 + Phép trừ: z z' ( x x ') ( y y ') i 
 + Phép nhân: zz. ' ( xx ' yy ') ( xy ' xyi ' ) 
 z z.' z
 + Phép chia: với z' 0 0 i . 
 z ' z'. z '
1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc. 
 + Với M() z thì z OM. 
 + Với M M( z ), M ' M '( z ') thì z z' MM '. 
 + Với A A( zAB ), B B ( z ), trong đó zAB, z là hai số phức khác nhau cho trước 
thì tập hợp các điểm M M() z thỏa mãn hệ thức z zAB z z là đường trung trực 
của đoạn AB. 
 + Với M0 M 0( z 0 ),R 0, tập hợp các điểm M M() z thỏa mãn hệ thức 
 z z0 R là đường tròn tâm M 0 , bán kính R. 
 Trang 2 
 Lời giải. 
 Đặt z x yi;, x y  và M M( z ) M ( x ; y ). 
 Ta có: z 1 2 i z 3 4 i ( x 1)2 ( y 2) 2 x 3 2 y 4 2 hay 
 M : 2 x 3 y 5 0. 
 5 5 5 13
Khoảng cách từ O đến là: d(;). O 
 22 ( 3) 2 13 13
 5 13
Vậy, minz . Chọn đáp án A. 
 13
 y
 (-3;4)
 Δ
 M
 I(-1;1)
 |z|
 x
 O 1
 (1;-2)
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng. 
Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 3 i z 3 5 i . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của z 2 i . 
 12 17
A. 5 B. 68 C. D. 34 
 17
Lời giải 
 Đặt z x yi;, x y  và M M( z ). 
 Ta có: z 13 i z 35(1)(3) i x2 y 2 x 3 2 y 5 2 hay 
 M : x 4 y 6 0. 
 2 4.( 1) 6 12 12 17
 + minz 2 i d ( M 0 ; ) . 
 12 (4) 2 17 17
 (Ở đây, M 0 ( 2; 1)) 
Chọn đáp án C 
 Trang 4 
 1
 x 
 x 3 y 7 10
Xét hệ phương trình: . Vậy, hình chiếu vuông góc của M 0 lên 
 3x y 2 23
 y 
 10
 1 23 
 là H ; 
 10 10 
 . 
 1 23 23
 Vậy, z 1 i nhỏ nhất khi z i P . Chọn đáp án A. 
 10 10 100
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng. 
BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z z0 R 0. Trong đó, 
z0 a bi cho trước. 
a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của z z1 , trong đó z1 là số phức cho 
trước 
b) Tìm số phức z để z z1 đặt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) 
Nhận xét: 
+ Đặt M M() z , I I( z0 ); A A ( z 1 ); thì z z0 MI. 
+ Từ đẳng thức z z0 R. Suy ra, M thuộc đường tròn (C) tâm I , bán kính R. 
Bài toán chuyển thành: 
 M
a) Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của AM với MC ( ). 
b) Tìm MC () sao cho AM lớn nhất (hay nhỏ nhất). R
 M2 I=z0 M1 A=z1
+ Gọi MM1, 2 là giao điểm của đường thẳng AI và (C) 
(hình minh họa) thì với mọi điểm MC (), ta luôn có 
AM1 AM AM 2. 
Do đó: min AM AM1 AI R ;max AM AM 2 AI R . 
Lời giải 
a) minz z1 z 1 z 0 R ;max z z 1 z 1 z 0 R . 
b) Tìm z. 
 Trang 6 
 y
 M1
 Δ
 M
 1
 |z|
 O x
 1
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng. 
Ví dụ 2.3 Trong tất cả các số phức z a bi thỏa mãn z 1 2 i 1, biết rằng 
 a
 z 3 i đạt giá trị nhỏ nhất.Tính P 
 b
 1 9 7 7
A. B. C. D. 
 7 13 9 13
Lời giải 
 Ta có: IA(1; 2), ( 3;1) . M M( z ) M ( C ) :( x 1)2 ( y 2) 2 1. 
 x 1 y 2
Đường thẳng AI : hay 3x 4 y 5 0. 
 4 3
 y
 A(-3;1)
 O 1 x
 M
 I(1;-2)
 9 13
 x ; y 
 (x 1)2 ( y 2) 2 1 5 5
Xét hệ: 
 3x 4 y 5 0 1 7
 x ; y 
 5 5
 9 13
Với x , y thì z 3 i 6 
 5 5
 1 7
Với x , y thì z 3 i 4 
 5 5
 Trang 8 
 Nhận xét: 
 - Đặt M( z ), A ( z3 ), B ( z 4 ) thì z z3 AM,. z z 4 BM 
 - Từ hệ thức z z1 z z 2 . Suy ra, M thuộc đường thẳng . 
Dẫn đến bài toán: Tìm M sao cho MA MB nhỏ nhất 
 z1 B z1 B
 A
 M0 M0
 M Δ M Δ
 A A'
 z2 z2
 A, B khác phía so với Δ A, B cùng phía so với Δ
 Ta thấy rằng, 
 + Nếu AB, nằm về hai phía so với thì với mọi điểm M ,. MA MB AB 
Vậy MA MB nhỏ nhất là MA MB AB khi và chỉ khi MAB,, thẳng hàng hay 
M  AB. 
 + Nếu AB, nằm về cùng một phía so với thì gọi A' là điểm đối xứng với A 
qua . Khi đó, với mọi điểm M ,''. MA MB MA MB A B Vậy, MA MB nhỏ 
nhất là MA MB A' B khi và chỉ khi AMB', , thẳng hàng hay MAB  '. 
Lời giải 
- Từ hệ thức z z1 z z 2 . Suy ra phương trình đường thẳng . 
- Thay tọa độ các điểm A A( z3 ), B B ( z 4 ) vào phương trình để kiểm tra xem A, B 
nằm cùng phía hay khác phía so với . 
 - Nếu A, B khác phía với thì 
 + min z z3 z z 4 z 3 z 4 
 + Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm AB,. 
Giải hệ gồm phương trình và phương trình d. Nghiệm (;)x y suy ra số phức 
z x yi cần tìm. 
 + Nếu AB, khác phía so với thì viết phương trình đường thẳng a qua A và 
vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và phương trình của a 
suy ra nghiệm là tọa độ điểm I là trung điểm của AA'. Từ tọa độ của AI, và công thức 
tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ A'. 
 '
 + min z z3 ' z z 4 z 3 ' z 4 với A' A '( z3 ). 
 Trang 10 
 5 493
 Suy ra, min z 2 i z 3 2 i A ' B . 
 17
 Chọn đáp án B. 
Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án 
phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra. 
Đáp án A: 5,97 ; B: 6,53; C: 9,31; D: 2,81 
Dựa vào hình minh họa: AB' 4,52 4,5 2 6,36 nên chọn đáp án B. 
Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 2 i z i . Tìm phần thực của số phức z 
biết z 1 2 i z 4 i đạt giá trị nhỏ nhất. 
 5 1 2 3
A. B. C. D. 
 6 6 3 4
Lời giải 
 Đặt M M( z ). Từ hệ thức z 2 i z i , ta được: M : 2 y 1 0. 
 Đặt AB(1;2), (0; 4) , thì A, B khác phía so với . Đường thẳng 
 x y 4
 AB: 6 x y 4 0.
 1 6 
 y
 (0;2) A(1;2)
 M Δ
 x
 O 1
 (0;-1)
 M: (0.75, 0.50)
 (0;-4) 
 1
 y 
 2y 1 0 2
 Tọa độ giao điểm của AB và là nghiệm của hệ . 
 6x y 4 0 3
 x 
 4
 3
Vậy, phần thực của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là x 
 4
Chọn đáp án D. 
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng. 
 Trang 12