Đề tài Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 MỤC LỤC 
1. Mở đầu ................................................................................................................................................................ 2 
 1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................................................... 2 
 1.2. Điểm mới của đề tài ..................................................................................................................................... 3 
2. Nội dung .............................................................................................................................................................. 4 
 2.1. Điểm Humpty ............................................................................................................................................... 4 
 2.1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................................. 4 
 2. 1.2. Các tính chất ......................................................................................................................................... 4 
 2.1.3. Các bài toán ứng dụng ........................................................................................................................... 8 
 2.1.3. Các bài tập ............................................................................................................................................ 12 
 2.2. Điểm Dumpty.............................................................................................................................................. 13 
 2.2.1. Định nghĩa ............................................................................................................................................ 13 
 2.2.2. Các tính chất ........................................................................................................................................ 13 
 2.2.3. Các bài toán ứng dụng ......................................................................................................................... 17 
 2.2.3. Các bài tập ............................................................................................................................................ 21 
3. Kết luận ............................................................................................................................................................. 22 
 3.1. Ý nghĩa của đề tài ....................................................................................................................................... 22 
 3.2. Kiến nghị, đề xuất ...................................................................................................................................... 22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................................... 23 
 Trang.1 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 Ở bài toán này ta thấy G là điểm A-Dumpty của tam giác ABC. Lúc đó, nếu sử dụng các 
tính chất của điểm Dumpty thì chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách gọn gàng. 
 Các bài toán khai thác hai điểm này cũng đã xuất hiện trong các kì thi như: Việt Nam 
TST 2016; Iran TST 2018; Turkey TST 2019 Để giúp cho các em học sinh, cũng như giáo 
viên có những kiến thức sâu rộng về hai điểm này chúng tôi đã đi nghiên cứu đề tài “Điểm 
Humpty – Dumpty và ứng dụng” 
1.2. Điểm mới của đề tài 
 Hiện nay các tài liệu viết về điểm Humpty – Dumpty và các bài toán ứng dụng rất là ít 
và chưa sâu rộng. Trong đề tài này chúng tôi định nghĩa lại một cách chặt chẽ hai loại điểm 
này, nêu các tính chất rất quan trọng và nêu ra một lớp bài toán ứng dụng được cập nhật mới 
nhất. 
 Trang.3 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 A
 E P
 H A
 B C
Chứng minh: Gọi E là giao điểm của CH với AB. Ta có: 
 0
 PAAAAA BC= P HC =180 − P HE = P AE = P AB Tương tự, PAA CB= P AC nên PA là điểm A-
Humpty 
Tính chất 3: PA thuộc đường trung tuyến AM. 
 A
 E P
 H A
 B M C
 A'
Nhận xét: + AM giao với (BHC) thì ABA’C là hình bình hành 
 + HA’ là đường kính của (BHC) 
Chứng minh: + Gọi A’ là điểm sao cho ABA’C là hình bình hành. Ta có: 
 BA' C= BAC = 1800 − BHC nên A’ thuộc (BHC). 
+ HBA'= HBC + CBA ' = 9000 − C + C = 90 (Vì BH⊥ AC và ABA’C là hình bình hành) nên 
 00
HA’ là đường kính của (BHC) nên HPAAA A'= 90 AP H + HP A ' = 180 nên PA thuộc AA’ 
hay PA thuộc AM. 
 Trang.5 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 A Y
 X
 PA
 B C
 K
Chứng minh: + Gọi K, X, Y là tâm của (BCPA), (C), (C’). 
+ Xét 2 tam giác PAXK và PABC ta có: 
 11
 XKP= BKP = BCP, KXP = BXP = BAP = CBP nên P XK P BC (1). Tương 
 AAAAAAA22 AA
 KX PA B
tự, ta cũng có: PAA KY P BC (2) . Từ (1), (2) suy ra: = (*) 
 KY PA C
 1 1
+ Mặt khác, KXY== AXB ABC , tương tự KYX== AYC ACB nên 
 2 2
 AB KX
 ABC KXY = (**) 
 AC KY
 AB P B
Từ (*) và (**) suy ra: = A (dpcm) 
 AC PA C
 2
Nhận xét: + Gọi R, R1, R2 là bán kính của (ABC), (C), (C’) thì ta có: RRR= 12. 
 + PA nằm trên đường tròn A-Apollonius của tam giác ABC. 
Tính chất 7: Cho tam giác ABC có AD là đường đối trung ( D BC ). Đường thẳng qua D 
vuông góc với BC cắt trung tuyến AM tại S; đường thẳng qua S song song với BC cắt AB, AC 
tại F, E. Khi đó, PA = BE CF . 
 Trang.7 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
Giải: + B là điểm A-Humpty của tam giác APQ. Nên theo tính chất 4) AC và AB là cặp đường 
thẳng đẳng giác trong góc A của tam giác APQ nên CAP= BAQ (đpcm) 
Nhận xét: Lời giải đầy đủ như sau 
+ Chứng minh B là điểm A-Humpty của tam giác APQ (tức là: BAP== BPQ, BAQ BQP ) 
+ B thuộc trung tuyến AM của tam giác (chứng minh như tính chất) 
+ B thuộc (BHC) (Chứng minh như tính chất) 
+ AC là đường đối trung của tam giác APQ. Thật vậy, Vì B, C đối xứng với nhau qua PQ nên 
 PCQ= PBQ = PHQ =1800 − PAQ C ( O ) (1). 
Mặt khác, BAP= BPQ = CPQ = CAQ hay AC là đường đối trung của tam giác APQ (đpcm) 
Bài toán 2 (Turkey Junior National Olympiad 2015): Cho tam giác ABC. D là trung điểm của 
BC. Gọi (C) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B; (C’) là đường tròn đi qua D và 
tiếp xúc với AC tại C. (C) cắt (C’) tại M (khác D). M’ là hình chiếu của M qua BC. Chứng minh 
rằng: M’ thuộc AD. 
 A
 M'
 O
 C
 B D
 M
Nhìn nhận: 
+ M’ là điểm A-Humpty của tam giác ABC. Ta cần chứng minh AM là đường đối trung của 
BAC. 
+ Ta thấy M thuộc (O) 
Giải: + Gọi AK (K thuộc (O)) là đường đối trung của tam giác ABC. Ta có: AK cũng là đường 
đối trung của góc BKC do đó ta có: BMD== AMC ABC nên AB là tiếp tuyến của (BDK). 
+ Tương tự, AC là tiếp tuyến của (CDK) do đó: KM . Vậy AM là đường đối trung của tam 
giác ABC. 
 Trang.9 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 F 
 A
 PA
 D B M C
 K
 E
Nhìn nhận: Điểm cố định là điểm A-humpty của tam giác ABC. 
Giải: + Gọi K là điểm Miqel của tam giác ABC với các điểm D, E, F (NX: K là giao điểm của 
BF với CE) 
+ Gọi PA là điềm A-humpty của tam giác ABC (NX: có thể gọi PA là hình chiếu vuông góc của 
 0
H trên AM,). Ta có: BKC=180 − A = BHC hay K () BPA C (1) 
+ Ta lại có: 00 nên D, M, 
 DKPAAAA= BKP − BKD =180 − BCP − BED = 180 − CAP − C = AMC
K, PA cùng thuộc một đường tròn (2) 
+ Từ đó ta có: hay PA thuộc (AEF) (đpcm) 
 APA K= KDM = BEK = AFK
Bài toán 5 (Iran TST 2018): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) với BE, CF là hai đường cao. 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường phân giác trong của góc A với EF, BC; P là điểm 
thỏa mãn PM⊥⊥ EF, PN BC . Chứng minh rằng: AP đi qua trung điểm của BC. 
 A
 E
 M
 F PA
 H P
 B C
 K N
 Trang.11 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
 AXB== BYC CZA. Gọi P là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (BXZ) và (CXY). Chứng 
minh rằng: P nằm trên đường tròn đường kính HG. 
Bài toán 6 (Sharygin 2015):Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Gọi A1, B1, C1 lần 
lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi B2, C2 lần lượt là trung điểm của BA1, CA1. Gọi B3, C3 
lần lượt là điểm đối xứng của C1 qua B và B1 qua C. Chứng minh rằng: giao điểm của (BB2B3) 
và (CC2C3) nằm trên (O). 
2.2. Điểm Dumpty 
2.2.1. Định nghĩa 
Cho tam giác ABC. Điểm QA thỏa mãn QAAAA AB== Q CA, Q BA Q AC được gọi là điểm A-
Dumpty của tam giác ABC. Các điểm B-Dumpty, C-Dumpty cũng được định nghĩa tương tự. 
2.2.2. Các tính chất 
Tính chất 1: QA là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (C) đi qua A, C và tiếp xúc với AB tại 
A và đường tròn (C’) đi qua A, B và tiếp xúc với AC tại A. 
Chứng minh: + Gọi QA là giao điểm thứ hai của (C) và (C’). Ta có: QAA AB= Q CA (cùng 
chắn cung AQA). Tương tự, QAA BA= Q AC nên QA là điểm A-Dumpty. 
Tính chất 2: AQA là đường đối trung của tam giác ABC. 
 Trang.13 
 Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng 
Chứng minh: 
+ Theo định nghĩa điểm Humpty ta có: QAA AB Q CA nên 
 2
 QBAAA ABQA AB QB AB
 =, = = 
 2
 QAAA A AC Q C AC Q C AC
Nhận xét: AQA là đường phân giác trong của góc BQA C 
Tính chất 4: Gọi Q là giao điểm của AQA với (O) thì QA là trung điểm của AQ. 
 A
 Y O
 Q
 A C
 B X
 Q
Chứng minh: + Gọi X là giao điểm của (C’) với BC; Y là giao điểm của XQA với AB. Ta có: 
 CBQ= CAQ = CAQA = YXB nên BQ//XY (1) 
+ Ta có: ABQAAA== CAQ BXQ nên AB là tiếp tuyến chung của (C’) và (BXQA) do đó Y là 
trung điểm của AB (2) 
+ Từ (1), (2) theo định lý Talet ta có: QA là trung điểm của AQ. 
Tính chất 5: QA là giao điểm thứ hai của (BOC) và đường tròn đường kính AO (với O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp ABC). 
 Trang.15