Đề thi chọn HSG tỉnh và đội tuyển dự thi HSG quốc gia môn Toán 11 (Vòng 2) - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021 
 VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA 
 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2021-2022 
 Khóa ngày 06 tháng 4 năm 2021 
 Môn thi: TOÁN Vòng: 2 
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
 Đề gồm có 01 trang và 4 câu. 
SỐ BÁO DANH: 
Câu 1. (3,0 điểm). 
a. Cho các số dương x,, y z thỏa mãn điều kiện x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 biểu thức P x4 y 4 z 4 x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2 . 
b. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 
 n2 np là một số chính phương. 
Câu 2. (2,0 điểm). 
 n 1
 Cho dãy số u xác định bởi u 1 và u u4 n2 với mọi n 1. 
 n 1 nn 1 n 2
 3 u
 Tìm giới hạn lim n . 
 n 1
Câu 3. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) và 
ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc cạnh BC tại D. Gọi M là điểm chính 
giữa cung BC (chứa A) của đường tròn (O). Đường phân giác trong góc A của tam giác 
ABC cắt BC tại E, cắt (O) tại S (S khác A). Gọi F là giao điểm của DI và AM. 
a. Chứng minh rằng đường thẳng MI đi qua trung điểm của đoạn EF. 
b. Kẻ đường cao AH, ( H BC ), kẻ đường kính AK của (O). Đường thẳng KS lần lượt 
 cắt các đường thẳng BC, AH theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh rằng tam giác PIQ là 
 tam giác vuông. 
Câu 4. (1,5 điểm). Cho n ( n 3) điểm liên tiếp AAAA1, 2 , 3 ,..., n đôi một phân biệt và 
cùng thuộc một đường thẳng sao cho AAAAAA1 2 2 3 ... nn 1 . 
a. Tìm n biết rằng trên đường thẳng có tất cả 2025 đoạn thẳng (có đầu mút là các điểm 
 AAA12, ,..., n ) mà các đoạn thẳng này có trung điểm được lấy từ các điểm đã cho. 
b. Với n 20, ta tiến hành tô màu 20 điểm AAAA1, 2 , 3 ,..., 20 bằng đúng m màu khác nhau 
 (mỗi điểm một màu, hai điểm khác nhau có thể được tô cùng màu). Tìm số m nhỏ 
 nhất sao cho không có ba điểm AAAi,, j k nào cùng màu mà 3 số i,, j k lập thành một 
 cấp số cộng (biết rằng các số m, i, j, k nguyên dương và 1 i j k 20). 
 ------- HẾT------- 
 của hai số tự nhiên là p22 p. p p .1 . 
 Vì m là số nguyên dương nên 2n p 2 m 2 n p 2 m 0 
 kết hợp (1) ta thu được 22n p m p2 (2) và 2n p 2 m 1(3) 
 Cộng vế theo vế hai đẳng thức (2), (3) ta thu được: 4n 2 p p2 1 
 2
 p 1 0,25 
 suy ra n 
 2
 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 2 nên p là số lẻ hay p 1 là số chẵn nên 
 là một số nguyên dương. 
 0,25 
 Kết luận: Với mỗi số nguyên tố p lớn hơn 2 cho trước, chỉ có duy 
 nhất số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
 n 1
 Cho dãy số u xác định bởi u 1 và u .4 u n2 với mọi n 1 . 
 n 1 nn 1 n 2
Câu 2. 3 u 2,0đ 
 Tìm giới hạn lim n 
 n 1
 k 1 2
 Ta có ukk 1 .4 u k với k 1,2,... 
 k 2 0,25 
 32
 Hay k 2 ukk 1 k 1 u 4 k 8 k ; k 1,2,... 
 Lần lượt cho kn 1,2,..., ta được 
 32
 3uu21 2 4.1 8.1
 4uu 3 4.232 8.2
 32 
 ... 0,5 
 32
 (n 2) unn 1 ( n 1) u 4. n 8. n
 Lấy tổng theo k từ 1 đến n , ta thu được: 
 3 3 3 2 2 2
 (n 2) un 11 2 u 4 1 2 ... n 8 1 2 ... n 
 2
 n( n 1) n ( n 1)(2 n 1)
 Từ đây ta có (nu 2)n 1 2 4 8. 
 26
 0,5 
 3n4 14 n 3 15 n 2 4 n 6
 hay u 
 n 1 3(n 2)
 u3 n4 14 n 3 15 n 2 4 n 6
 Từ đây suy ra n 1 
 n 2 3 3(n 2)4
 0,5 
 u u
 Từ đây suy ra limn 1 1 hay limn 1 
 (n 2)3 (n 1)3
 2 
 3b 
 1
 +)Ta có OAC 9000 AOC 90 ABC BAH 
 2
 Vì AI là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nên 
 0,5 
 HAI OAI . Suy ra tam giác AQK cân tại A, đường cao AS. 
 Do đó SQ SK . 
 +)Lại có EPK 9000 HQP 90 AKS EAK . 
 0,25 
 Suy ra tứ giác AEKP nội tiếp nên ta thu được SK.. SP SE SA. 
 +) Hơn nữa, dễ dàng chứng minh được hai tam giác SEC, SCA 
 0,25 
 đồng dạng nên SC2 SE. SA . 
 +) Từ các điều trên ta có SI22 SC SE... SA SK SP SQ SP (7). 
 +) Từ (7) và kết hợp IS là đường cao tam giác PIQ suy ra tam giác 0,5 
 PIQ vuông tại I. 
 Cho n ( n 3 ) điểm liên tiếp AAAA1, 2 , 3 ,..., n đôi một phân biệt và cùng thuộc một 
Câu 4. 1,5đ 
 đường thẳng sao cho AAAAAA1 2 2 3 ... nn 1 . 
 Tìm n biết rằng trên đường thẳng đó có tất cả 2025 đoạn thẳng (có đầu mút là 
 các điểm AAA12, ,..., n ) mà các đoạn thẳng đó có trung điểm được lấy từ các 
 4a 
 điểm đã cho. 
 4 +) Với m 1 dễ dàng chứng minh không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
+)Với m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán, với một cách tô như sau: 
Màu thứ nhất: Tô các số 1, 2, 6, 7, 9, 18, 20. 0,25 
Màu thứ hai: Tô các sô 3,4,11,12,15,16. 
Màu thứ ba: Tô các số 5,8,10,13,14,17,19. 
+) Bây giờ ta chứng minh m 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán: 
Tức là khi tô các số bởi 2 màu khác nhau luôn tồn tại ba số cùng màu 
lập thành một cấp số cộng. 
+) Giả sử ngược lại là có một cách tô các số từ 1 đến 20 bởi hai màu 
khác nhau sao cho không có ba số nào cùng màu lập thành một cấp 
số cộng. 
Từ đây ta có nhận xét: 
 - Trong ba số liên tiếp (từ 1 đến 20) luôn có 2 số khác màu. 
 - Nếu hai số a, b cùng màu thì 2a b ,2 b a khác màu với chúng 
 (1 a ,,2 b a b ,2 b a 20; a, b N ). 
Xét ba số liên tiếp 9, 10, 11 có hai trường hợp xảy ra: 0,25 
Trường hợp 1: Số 10 khác màu với số 9 và số 11. Khi đó, từ nhận 
xét trên, ta có số 7 và số 13 cùng màu với số 10. Nên ba số 7, 10, 13 
cùng màu và lập thành cấp số cộng. Mâu thuẫn với điều giả sử 
Trường hợp 2: Số 10 cùng màu với số 9 và khác màu với số 11. Khi 
đó số 8 cùng màu với số 11. Do đó số 5, số 14 cùng màu với số 9 và 
số 10. Và số 1, số 6 cùng màu với số 11. Nên ba số 1,6,11 cùng màu 
và lập thành cấp số cộng. Mâu thuẫn với điều giả sử. 
(Tương tự với trường hợp số 10 cùng màu với số 11). 
Kết luận: Số màu nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 màu. 
hay m 3. 
 HẾT 
 6