Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
 KÌ THI OLIMPIC 10-3 LẦN 2
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ KÌ THI OLIMPIC 10-3 LẦN 2- MÔN TOÁN 10 Câu Đáp án Điểm
1(4,0đ) Giải phương trình x2 6x x 6 với x R, x 3 . 
 x2 6x x 6 x2 6x 3 x 6 3 0,5
 Đặt t x 6 3,t 6 1,0
 t x 6 3 t 3 x 6 t 2 6t 3 x
 x2 6x 3 t (1) 1,0
 Ta có hệ phương trình 
 2
 t 6t 3 x (2)
 (1)-(2): x2 t 2 6(x t) t x (x t)(x t 5) 0
 t x
 x t 5 0
 7 37 0,5
 x 
 2 2
 t x x x 6 3 (x 3) x 6 . 
 7 37
 x 
 2
 7 37
 Kết hợp với điều kiện nhận x 
 2
 x+t-5 =0 vô nghiệm vì x 3,t 6 0,5
 7 37 0,5
 Vậy phương trình có một nghiệm x 
 2
2(4,0đ) Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua 
 trung điểm S của đoạn BD kẻ SM cắt AC tại K.
 AM 2 AK
 Chứng minh rằng: 
 CM 2 CK
 AK
 Đặt x 0 1,0
 CK
        1  x  
 Khi đó AK x.KC MK MA x(MC MK) MK MA MC (1)
 1 x 1 x
     t   
 Vì MK và MS cùng phương nên MK tMS MB MD 1,0
 2 
  a  
 Mặt khác MA.MB=MC.MD = a >0 suy ra MB .MA và 
 MA2
  a  
 MD .MC
 MC 2 1 1 2021
 ,
 675 1346 675.1346
 1 1 2021
 ,v.v
 676 1345 676.1345
 Mỗi cặp được tính như trên có dạng 2021 với M không chia hết cho 2021 1,0
 M
 (vì 2021 là số nguyên tố và M là tích các số bé hơn 2021). 
 m 2021.A
 Vậy trong đó B không chia hết cho 2021 nên m chia hết cho 
 n B
 2021. 
5(3,0đ) Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Trên đường thẳng d 
 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ lấy n ( n 2 ) điểm phân biệt 
 lập thành 2800 tam giác. Tìm n ?
 Trường hợp 1: Lập tam giác từ một điểm trên d và hai điểm trên d’. 1,0
 Số cách lấy hai điểm trong n điểm trên d’ là n(n 1)
 2
 Với mỗi điểm trên d kết hợp với n điểm trên d’ lập được n(n 1) tam giác , 
 2
 mà trên d có 10 điểm vậy trong trường hợp này lập được 10. n(n 1) =
 2
 5n2 5n tam giác.
 Trường hợp 2: Lập tam giác từ một điểm trên d’ và hai điểm trên d. 1,0
 10.9
 Số cách lấy hai điểm trong 10 điểm trên d là 45
 2
 Với mỗi điểm trên d’ kết hợp với 10 điểm trên d lập được 45 tam giác , mà 
 trên d’ có n điểm vậy trong trường hợp này lập được 45n tam giác.
 Vậy có tất cả là 5n2 5n +45n tam giác. 1,0
 2 n 20
 Theo đề bài ta có phương trình: 5n 40n 2800 . 
 n 28
 Kết luận n = 20.
6(3,0đ) Tìm tất cả các hàm f : N N thỏa mãn các điều kiện: 
 iii) f(1) > 0
 iv) f (m2 n2 ) f 2 (m) f 2 (n) 
 f (0) 0 1,0
 2
 Cho m = n = 0, từ ii) ta có: f (0) 2 f (0) 1
 f (0) N
 2
 f(0) = 0 suy ra f (m2 ) f 2 (m) do đó f (m2 n2 ) f 2 (m) f 2 (n) f(m2 ) f (n2 )
 Ta có: f (1) f 2 (1) f(1) 1 vì f(1) > 0 1,0
 f (2) f (12 12 ) f 2 (1) f 2 (1) 2
 f (4) f (22 ) f 2 (2) 4
 f (5) f (22 12 ) f 2 (2) f 2 (1) 5
 f (8) f (22 22 ) f 2 (2) f 2 (2) 8
 Hơn nữa ta thấy rằng 25 f (52 ) f (32 42 ) f 2 (3) f 2 (4) f(3) 3
 Tương tự: