Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Hùng Vương (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10 x5 y 4 y4 2y3 x y 4 x
Ta có F x4 y2 2y 
 x y2 x x y2
 1.0
 4 1 1 1 1 y x 2
 x 2 y 1 1
 x x x x x y 
 5
Áp đung bất đẳng thức AM- Gm ta đươc F 5 1 5 2 1 6
 y 1.0
Vậy giá trị nhỏ nhất của F bằng 6 xảy ra khi x y 1 1.0
 Câu 4: (3.0 điểm) Cho p là số nguyên tố khác 2 và a,b là hai số tự nhiên lẻ sao cho
 a b chia hết cho p và a b chia hết cho p 1. Chứng minh rằng ab ba chia hết cho
 2 p .
 Đáp án câu 4:
Giả sử a b . Gọi r là số dư của a cho p khi đó a  r mod p .
Mà a b  0 mod p b  r mod p . 1.0
 Suy ra ab ba  rb r a mod p hay ab ba  rb 1 r a b mod p 
Mặt khác a b  0 mod p 1 nên a b k p 1 . Vì r không chia hết cho p 
nên theo định lý Fermat nhỏ ta có 1.0
r p 1  1 mod p r k p 1  1 mod p r a b  1 mod p 
Từ đó suy ra ab ba  0 mod p . Mà a và b là hai số lẻ nên ab ba  0 mod 2 . 
 1.0
Vậy ab ba  0 mod 2 p 
 Câu 5: ( 3.0 điểm) Cho 2005 điểm trên mặt phẳng ,biết rằng trong mỗi nhóm 3 điểm bất 
 kì của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được 2 điểm có khoảng cách bé hơn 1. 
 CMR trong các điểm trên có ít nhất 1003 điểm nằm trong 1 đường tròn có bán kính bằng 
 1.
 Đáp án câu 5:
Ta có 2005 = 2.1002 + 1. Gọi A là 1 điểm trong 2005 điểm đã cho. Vẽ đường 
tròn tâm A bán kính 1. Nếu tất cả 2004 điểm còn lại đều nằm trong hình tròn 
 1.0
tâm A bán kính 1 thì bài toán được giải.
Giả sử có điểm B nằm ngoài đường tròn (A;1) tức là AB>1. Vẽ đường tròn 
tâm B bán kính 1 ,kí hiệu (B;1). Ta chứng ming tất cả 2005 điểm đã cho đều 
nằm trong (A;1) hoặc (B;1). Thật vậy, lấy C bất kì, xếp 3 điểm A,B,C theo 1.0
giả thuyết AB>1 nên AC 1hoặc AB 1, khi đó C nằm trong đường tròn (A;1) 
hoặc C nằm trong (B;1 ) 
2005 điểm nằm trong hai đường tròn nên theo nguyên tắc Dirichlet có 1 đường 
tròn chứa ít nhất 1003 điểm 1.0