Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Quang Trung (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10 Đáp án câu 4:
+Ta có 776 ≡ - 1(mod 3) => 776776 ≡ -1(mod 3) => 776776 ≡ 1 (mod 3)
 777 ≡ 0 (mod 3) => 777777 ≡ 0 (mod 3)
 778 ≡ 1 (mod 3) => 778778≡ 1 (mod 3)
=> 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 dư 2.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng 
minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.
Đáp án câu 5:
Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5.
(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau: 
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ Z 
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu 
trên.
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên.
 Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh của ngũ giác đó. 
Câu 6: Cho hàm số f :  *  * thỏa 2 điều kiện sau:
 i. f (1) 2
 ii. n >1 thì f (1) f (2) ... f (n) n 2 f (n)
 Hãy xác định công thức đơn giản tính f (n) ?
Đáp án câu 6:
 2
Vì f (1) f (2) 4 f (2) f (2) 
 3
 f (1) f (2) ... f (n 1) f (n) n 2 f (n)
Với n 3, Ta có :
 2
 f (1) f (2) ... f (n 1) (n 1) f (n 1)
 f(n) n2f(n) (n 1)2 f(n 1)
 n 1
 f (n) f (n 1)
 n 1
 (n 1)(n 2)...2 4
Vậy, với n 3 f (n) f (2) 
 (n 1)n...4 n(n 1)
 2 4
Vì f (1) 2; f (2) thỏa công thức trên nên f (n) n  *
 3 n(n 1)
 HẾT