Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ 2 - Trường THPT Thực hành Cao Nguyên (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT THỰC HÀNH CAO NGUYÊN
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10 NF.MD FM.ND (do tứ giác FMDN điều hòa)
Suy ra: ME.DP.NF.MD EP.MD.FM.ND
Hay ME.PD.NF EP.DN.FM
Theo bổ trên ta có điều phải chứng minh.
Câu 3:Cho các số thực a,b,c, x, y, z 0 và thỏa mãn ax by cz xyz . 
Chứng minh rằng a b b c c a x y z 
Đáp án câu 3
 a b c a b a c b c
Từ giả thiết ta có 1 . Do đó 1; 1; 1 
 yz xz xy yz xz yz xy xz xy
 b c a c a b
 x ; y ; z . 
 z y z x y x
Sử dụng kết quả này và bất đẳng thức AM-GM, ta có
 b c a c a b a b b c a c 
2 x y z x y z z x y 
 z y z x y x z x y 
 2 a b 2 b c 2 c a . 
Từ đó ta có a b b c c a x y z (đpcm)
 4 3 2
Câu 4 : Xác định số tự nhiên n để an n 2n 2n n 7 là một số chính phương.
Đáp án câu 4
 2 2 2
Ta có: n n 1 an n n 6 
 2 2 2 2 2
+ Với n n 6 0 thì an n n 1 . Mà an n n nên an không thể là số chính phương.
+ Với n2 n 6 0 ta được n 2 
+ Với n2 n 6 0 thì ta chọn được n 1. Không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy n 2 là giá trị cần tìm.
Câu 5 : Trên bảng viết n số bất kỳ thuộc 1;1 thành một dãy. Được phép ở mỗi bước đổi dấu 
một số số liên tiếp. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để chắc chắn từ một dãy số bất kì luôn thu 
được một dãy gồm toàn số +1.
Đáp án câu 5
Giả sử j a1,a 2 ,...,a n với ai 1;1 i 1,n, j ¥ là dãy số có mặt trên bảng sau bước đổi dấu 
thứ j. Chọn đặc trưng f (j) là số các cặp số liên tiếp trái dấu trong j . Dễ dàng chứng minh được 
 f j ¥ và f ( j 1) f (j) 2 . Nói cách khác, sau mỗi bước đổi dấu f (j) thay đổi không quá 2 
đơn vị. Ta sẽ chứng minh, từ dãy các số 0 1; 1; 1; 1;... không thể thu được dãy 
 n 1 n 1 
 m 1, 1, 1,... :  sau ít hơn bước. Thật vậy, giả sử sau 1 lần đổi dấu, từ 
 2 2 
 n 1 
trạng thái 0 ta thu được trạng thái  . Khi đó, nếu n 2k thì k còn f (0) 2k 1 và 
 2 
 f (m) 0 . Nhưng sau khi k 1 bước f (0) giảm tối đa 2(k 1) đơn vị, suy ra 
0 f (m) f (k 1) 2k 1 2(k 1) 1. Đó là điều vô lí.
 n 1 
Nếu n 2k 1 thì k 1 và f (0) 2k . Mà có ít nhất một lần f ( j) thay đổi không quá 1 
 2 
đơn vị ( khi mà phép đổi dấu liên quan đến số -1 ở biên ), nên sau k lần đổi dấu ta có 
0 f (m) f (k) 2k (2(k 1) 1) 1 cũng là điều vô lí.