Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Hoàng Minh Trung (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK 
TRƯỜNG THPT: PHAN ĐĂNG LƯU
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP: 10
 Giáo viên ra đề: Hoàng Minh Trung
 Số điện thoại: 0983343829
 1 Câu 2:(4,0 điểm)
 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng 
 của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam 
     
 giác MNP. Chứng minh rằng OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho 
 M· AB M· BC M· CD M· DA . Chứng minh đẳng thức sau:
 AB2 BC 2 CD2 DA2
 cot ,
 2AC.BD.sin 
 trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
 Đáp án câu 2:
 A
 P N
 H
 O
 B K C
 M
 D
 1. Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của BC cũng 
 là  trung   điểm của HD ,  trong  tam  giác AHD   có OK là đường trung bình nên 
 2OK AH OB OC OH OA OA OB OC OH 1 điểm
     
Ta có OB OC 2OK OM và các đẳng thức tương tự ta được:
       
OM ON OP 2 OA OB OC 2OH
   
 3OL 2OH suy ra O, H, L thẳng hàng. 1 điểm
 1 AB2 MA2 MB2
 2. Trước hết ta có các kết quả sau: SABCD AC.BD.sin ; cot 
 2 4SMAB
 Tương tự ta được:
 AB2 MA2 MB2 BC 2 MB2 MC 2
 cot 
 4SMAB 4SMBC
 CD2 MC 2 MD2 DA2 MD2 MA2
 1điểm
 4SMCD 4SMDA
 AB2 BC 2 CD2 DA2
 4 SMAB SMBC SMCD SMDA 
 AB2 BC 2 CD2 DA2 AB2 BC 2 CD2 DA2
 1điểm
 4SABCD 2AC.BD.sin 
 3 22 p 1
Câu 4: (3,0 điểm) Với p là số nguyên tố, đặt n . Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 
 3
2n 2 không chia hết cho n.
Đáp án câu 4:
 • Với p 2 , ta có 2n 2 chia hết cho n .
 Với p 3, ta có 2n 2 không chia hết cho n . 1điểm
 • Với p 3, ta sẽ chứng minh 2n 2 chia hết cho n. Thật vậy, ta có 
 4 2 p 1 1 2 p 1 1 
 n 1 .
 3
 Vì p là số nguyên tố lẻ nên 2 p 1  1 mod 3 (1)
 Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ ta có 2 p 1  1 mod p (2).
 Từ (1) và (2) suy ra 2 p 1 13p (vì p 3). 1điểm
 Từ đó suy ra n 12 p , nên (2n 1 1)(22 p 1) .
 Mà 22 p 1n (giả thiết), nên 2n 1 1n hay 2n 2n .
 Vậy p 3 là giá trị cần tìm. 1điểm
Câu 5:(3,0 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ 
số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
Đáp án câu 5:
Gọi số đó là A a1a2a3a4a5a6 . Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ.
 • TH 1: A có 1 chữ số lẻ
 1
 +) a1 lẻ: Số các số A là C5 P5 600 
 1
 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Số các số A là 4. C5.5 P4 2400
 Tổng có: 600 2400 3000 số các số A trong đó có đúng 1 chữ số lẻ. 1điểm
 • TH 2: A có 2 chữ số lẻ
 +) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 . Có 5 cách chọn a2 chẵn.
 1 3
 Vậy số các số A là 5.5. C4.4 .A4 9600 
 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong 
 2 3
 a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 . Vậy số các số A là 4. C5 .6.P2 .A4 11520
 Tổng có: 9600 11520 21120 số các số A trong đó có đúng 2 chữ số lẻ. 1điểm
 • TH 3: A có 3 chữ số lẻ
 +) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 . Có 5 cách chọn a2 chẵn. Có 3 cách chọn hai vị trí không kề 
 2 2
 nhau của hai số lẻ trong a3 ,a4 ,a5 ,a6 . Vậy số các số A là 5.5. C4 .3.P2 .A4 10800
 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Có 1 cách chọn 3 vị trí khong kề nhau của 3 số lẻ trong 
 3 2
 a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 . Vậy số các số A là 4. C5 .1.P3 .A4 2880
 Tổng có: 10800 2880 13680 số các số A trong đó có đúng 3 chữ số lẻ.
 Tóm lại có: 3000 21120 13680 37800 số các số A thỏa yêu cầu bài toán. 1điểm
 5