Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Buôn Ma Thuột (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮKLẮK
 TRƯỜNG THPT: BUÔN MA THUỘT 
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN ; LỚP 10
 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT BUÔN MA THUỘT
 ĐÁP ÁN TOÁN 10
 Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm
 4xy 2
 1 x 2x y
 3 x 2 2x 9
 Giải hệ phương trình (1)
 4xy
 y 2y 2 x
 3 2
 y 2y 9
 Với x=0 thế vào hệ ta được y=0 0,5
 Với x 0, y 0 cộng vế theo vế 2 pt của (I) và rút gọn ta được PT: 0,5
 1 1 
 2xy x 2 y 2 (1)
 3 2 3 2 
 x 2x 9 y 2y 9 
 0,5
 suy ra xy>0
 1,0
 1 1 1 1
 mà 1.
 3 x 2 2x 9 3 y 2 2y 9 2 2 0,5
 VT(1) 2xy x 2 y 2 (2). Từ (1) và (2) ta được x=y=1.
 0,5
 Vậy hệ PT có 2 nghiệm (0;0) và (1;1). 
 0,5
 3 3 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A B C
 biểu thức: M sin8 sin8 sin8
 2 2 2
 8 8 8 2 2 2
 8 A 1 1 1 1 1 1 2 A
 Tacó: sin 4 sin 0,5
 2 2 2 2 2 2 2 2
 A 3 1 A
 Hay sin8 sin2
 2 256 16 2
 0,5
 Dấu “=” xảy ra khi A 
 3
 9 1 2 A 2 B 2 C 
 Tương tự như thế ta sẽ có : M sin sin sin 0,5
 256 16 2 2 2 
 1 1 cosA 1 cosB 1 cosC 
 16 2 2 2 
 1 3 1 1 3 1 3 3
 cosA cosB cosC 0,5
 16 2 2 16 2 2 2 64
 3
 (mà cosA cosB cosC )
 2
 3 3
 Vậy M Giá trị nhỏ nhất của M là khi tam giác ABC là 
 256 256 0,5x2
 tam giác đều.
 5 5 Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm số nguyên dương n sao 
 cho: S(n) = n2 – 2016n + 9
 Với số nguyên dương n bất kì viết trong hệ thập phân thì 
 0,5
 n = ama m 1...a0 
 m m 1 0,5
 n am.10 am 1.10 ... a1.10 a0 am am 1 ... a1 a0 S(n)
 Giả sử S(n) = n2 – 2016n + 9 thì từ S(n) ≤ n ta có 
 n2 2016n 9 n n2 9 2017n
 9
 n 2017 n 2017 (1)
 n 0,5
 Mặt khác S(n)>0 nên n2–2013n + 9 > 0 
 9
 n2 9 2016n n 2016 n 2016 (2)
 n
 0,5
 Từ (1) và (2) phải xảy ra 2016 n 2017 0,5
 Thử với n = 2016 ta thấy 20162 - 2016.2016 + 9 = 9 = 1+ 2 + 6 = S(2016)
 Vậy n = 2016 0,5
 7