Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Phan Đình Phùng (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂKLĂK
 TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG
 KỲ THI OLYMPIC10-3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2016-2017 AD2 BC 2
 AD2 DE 2 AE 2 20(1).
 4 4
Lại có: KA.KC=KB.KB= OK 2 R2 4 KA ,KB (2).
 KC KD
Thay (2) vào (1) ta có: 
 2 2 16 16 16 16
20 KC KD 1 2 2 2KC.KD 1 2 2 4S 1 2 4S 
 KC .KD KC .KD 4S S
 4
 5 S S 2 5S 4 0 1 S 4.
 S
Mặt khác: S 1 KC KD 2
 S 4 KC KD 2 2
Câu 3(3 điểm): Hãy xác định 3 chữ số tận cùng của n với 
 n 3 7 11 15 ..... 2019 .(1)
Đáp án câu 3
Dễ thấy rằng, n là số lẻ. Gọi x là 3 chữ số tận cùng của n. Khi đó n  x(mod1000) . 
Vì 15, 35,55 là 3 số hạng trong tích (1). Nên n chia hết cho 125. Và 1000=125.8 
nên x cũng chia hết cho 125. Do đó x chỉ có thể là các số 125, 375, 625, 875.
Hơn nữa ta có : (n-x) chia hết cho 1000 nên (n-x) chia hết cho 8.
Mặt khác ta có: n 3(4.1 3)(4.2 3)...(4.502 3)  (3.7)(3.7)...(3.7).3(mod8)
 
 252 cap
  5.5......5.3(mod8) 1.1......1.3(mod8)  3(mod8) .
 252so 126so
Kiểm tra, thấy được trong 3 số 125, 375, 625,875 chỉ có một số duy nhất là 875 
đồng dư với 3 theo môđun 8.
 Vậy số 875 là số cần tìm. 
Câu4(4 điểm): Cho ba số dương x, y ,z thõa mãn x+y+z=1 chứng minh rằng Trong mặt phẳng lấy một điểm O bất kì từ O kẻ 9 đường thẳng song song với các 
đường thẳng đã cho khi đó xét đường tròn tâm O bán kính R . Tại tâm O ta có 18 
 360 0
góc đối đỉnh có tổng bằng 3600 vậy trung bình mỗi góc có số đo là 200 đó là 
 18
điều phải chứng minh.
Câu 6 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số f : ¥ ¥ sao cho f ( f (n)) f (n) 2n 3
với mọi số tự nhiên n.
Đáp án câu 6
Giả sử tồn tại hàm số f thỏa thỏa yêu cầu bài toán, khi đó ta có:
 f ( f 0)) f (0) 3, suy ra 0 f (0) 3.
Do đó:
Nếu f (0) 0 thì f (0) 0 3 (vô lí). Suy ra f (0) 0
Nếu f (0) 2 thì f (2) f ( f (0)) 1. Suy ra f (1) f ( f (2)) 6 . Nhưng với 
 f (1) 6,ta có f (6) f ( f (1)) 2.1 3 f (1) 1,(vô lí). Suy ra f (0) 2 ..
Tương tự ta cũng có f (0) 3.
Từ đó suy ra f (0) 1.
Hơn nữa ta có: f ( f 0)) f (0) 3 f (1) 2 và 
 f ( f 1)) f (1) 5 f (2) 3;
Bây giờ ta chứng minh hàm f cần tìm là f (n) n 1(*) . Bằng quy nạp ta có:
Với n=0 (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với n k 0 , tức là f (k) k 1, ta chứng minh (*) đúng với 
n=k+1. Thật vậy, ta có f (k 1) f ( f (k)) 2k 3 f (k) k 1 1.Do đó (*) 
đúng với mọi số tự nhiên .
Thử lại , ta thấy hàm số f (n) n 1thỏa yêu cầu bài toán.
 ---------Hết-------