Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Sở GD&ĐT Đắk Lắk (Có đáp án)

 SỞ GÍAO DỤC & ĐÀO TẠO DẮK LẮK 
TRƯỜNG THPT ..........................................
 ĐỀ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN – LỚP 10 BE  CF = I
 0,5
 BE, CF là các phân giác trong của A¼BD và A¼CD => I là điểm chính giữa cung AD 
 của (C)
 1
 Có I¼DF = I¼DA + A¼DF = 30o + A¼DC (1)
 2
 1
 I¼FD = I¼CD + C¼DF = 30o + A¼DC (2)
 2 0,5
 Từ (1) và (2) => I¼DF = I¼FD => ID = IF
 Tương tự => IE = IA
 Mặt khác IKD và AKI đều ( do góc ở tâm A¼IK = I¼KD = 600
 0,5
 => IA = ID = IF = IE = 1 ( vì cùng bằng IK = 1)
 EFI có: EF2 IE2 IF2 2IE.IF.cos E¼IF
 => 2 3 2 2.cosE¼IF 
 3 0,5
 => CosE¼IF = => E¼IF = 300.
 2
 => B¼KC = 600 => tam giác BKC đều => BC = 1
 Vậy BC = 1 0,5
 Câu 3 ( 4 điểm ).
 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 và bc 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất có 
 1 1 1 8
 thể được của biểu thức D a b c 2 . 
 ab bc ca abc
 Đáp án câu 3: 
 Nội dung Điểm
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
a b 6 a b 6 a b 6
 33 . . 3 dấu bằng xảy ra (1) 
3 2 ab 3 2 ab 3 2 ab
b c 8 b c 8 b c 8
 33 . . 3 dấu bằng xảy ra (2)
2 4 bc 2 4 bc 2 4 bc 1
c a 12 c a 12 c a 12 
 33 . . 3 dấu bằng xảy ra (3)
4 3 ac 4 3 ac 4 3 ac
a b c 24 a b c 24 a b c 24
 33 . . . 4 dấu bằng xảy ra (4)
3 2 4 abc 3 2 4 abc 3 2 4 abc
 6 32 84 24
(1) + (4)x2 + (3)x7 + (4) => 3(a b c) 40 
 ab bc ac abc
 26 78 1
 hay 3D 40
 bc ac
 1 1 1 1
Mặt khác: Từ giả thiết suy ra: và 
 ac 12 bc 8
 1 1 13 117 121
Do đó: 40 3D 26 78. 3D 39 3D => D 1
 bc ac 4 12 12
 121
Dấu bằng xảy ra a = 3, b = 2 và c = 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của D = đạt được 
 12
khi a = 3, b = 2 và c = 4. hoán vị của 5 chữ số ( chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra 1 số tự nhiên n, nhưng cứ 2! hoán vị 
của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo 0,5
 5!
ra 1 số n, nn trong TH2 này có cả thảy là 3. = 90 số tự nhiên.
 2!2!
Do đó:  (90 60).C3 12600
 A 9 0,5
 A 12600 1.400
Vậy PA = 0,2133821064 0,5
  59049 6.561
 Câu 6 ( 3 điểm). 
 Tìm tất cả các hàm số f: N* N* sao cho
 a) f(2) = 2;
 b) f(m.n) = f(m).f(n) với mọi m, n thuộc N*;
 c) f(m) < f(n) với mọi m < n.
 Đáp án câu 6: 
 Nội dung Điểm
f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) => f(1) = 1.
f(4) = f(2.2) = f(2).f(2) = 2.2 = 4. Ta có 2 = f(2) < f(3) < f(4) = 4. Từ đó: 0,5
Do f(3) N * , => f(3) = 3.
Tương tự như vậy, do f(6) = f(2).f(3) = 2.3 = 6 nên từ đây suy ra f(6) = 6 và cũng như 
trên, suy ra f(5) = 5. 0,5
Ta chứng minh f(n) = n bằng quy nạp. Thật vậy, giả sử đã có f(k) = k với mọi k n. 
 0,75
Xét k = n + 1. 
 k k k
Nếu k chẵn thì f(k) = f(2. ) = f(2).f( ) = 2.( ) = k.
 2 2 2
 k 1 0,75
Nếu k lẻ thì k + 1 chẵn và f(k + 1) = f(2).f( ) = k + 1. 
 2
Và từ bất đẳng thức k - 1 = f(k - 1) < f(k) < f(k + 1) = k + 1. ta suy ra f(k) = k.
Theo nguyên lý quy nạp ta có f(n) n với mọi n N * 0,5
 ------------------------------Hết-------------------------------
 Họ và tên thí sinh: ........................................................................Số báo danh:...........................
 Chữ ký của giám thị 1: .......................................Chữ ký của giám thị 2: ...................................