Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường PTDTNT Tây Nguyên (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
TRƯỜNG PHỔ THễNG DTNT TÂY NGUYấN 
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MễN: TOÁN; LỚP: 10 ổ ử
 ỗ 1 ữ
 Û (x - y + 1)ỗy - 1+ ữ= 0 0,25đ
 ốỗ y - 1 + x ứữ
 Û x - y + 1 = 0 Û y = x + 1 (do điều kiện (*)) 0,25đ
 Thay vào PT (2) ta được: 3 5 - x + 3 5x - 4 = 2x + 7 (3) 
 0,25đ
 ĐK: 4/ 5 Ê x Ê 5 
 (3) Û (7 - x) - 3 5 - x + 3(x - 5x - 4) = 0 0,25đ
 ổ 1 3 ử
 2 ỗ ữ
 Û (4 - 5x+ x )ỗ + ữ= 0 0,25đ
 ốỗ3 5 - x + (7 - x) 5x - 4 + x ứữ
 ộx = 1 ị y = 2
 Û x 2 - 5x+ 4 = 0 Û ờ 
 ờx = 4 ị y = 5
 ởờ 0,25đ
 So sỏnh điều kiện và kết luận nghiờm:...
Cõu 2: (4,0 điểm) Tam giỏc ABC cú cỏc cạnh a, b, c và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp, nội
tiếp lần lượt là R, r thỏa món đẳng thức: . 
 a3 + b3 + c3 2r
 + = 4.
 abc R
Chứng minh tam giỏc ABC đều.
Đỏp ỏn cõu 2:
a3 + b3 + c3 2r
 + = 4. (1)
 abc R
Gọi S là diện tớch, p là nửa chu vi của tam giỏc ABC, ta cú: 
 abc abc S
S = , S = pr ị R = , r = . 0,5đ
 4R 4S p
 2r 8S2
Suy ra: = .
 R pabc
 Sử dụng cụng thức S = p(p - a)(p - b)(p - c) , ta cú:
 0,5đ
 8S2 8(p - a)(p - b)(p - c) (b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
 = = 
pabc abc abc
 2 p
Cõu 4: (3,0 điểm) Cho p là số nguyờn tố bất kỳ, chứng minh pp+ 1 + (p + 1) 
khụng phải là số chớnh phương.
Đỏp ỏn cõu 4:
Với p = 2, bài toỏn đỳng.
Với p ³ 3. Ta chứng minh phản chứng. Giả sử tồn tại số nguyờn dương k 
sao cho pp+1 + (p+1)p = k2. 0,5đ
 p+ 1 p+ 1
 ổ ửổ ử p
 ỗ 2 ữỗ 2 ữ
Khi đú ỗk + p ữỗk - p ữ= (p + 1) (1)
 ốỗ ứữốỗ ứữ
 ổ p+ 1 p+ 1 ử ổ p+ 1 p+ 1 ử
 ỗ 2 2 ữ ỗ 2 2 ữ
Do ỗk + p ,k - p ữ= ỗk - p ,2p ữ= 2
 ốỗ ứữ ốỗ ứữ
Nờn từ (1) ta suy ra
 p+ 1
ùỡ ỡ p+ 1
ù 2 p- 1 p ù
ù k + p = 2 u ù k - p 2 = 2p- 1u p 0,5đ
ù ù
ớ p+ 1 hoặc 
ù ớ p+ 1
ù 2 p ù
ù k - p = 2v ù k + p 2 = 2vp
ợù ợù
(với u, v là hai số nguyờn tố sao cho p+1 = 2uv và (u,v) = 1)
 p+ 1
Từ đú ta cú 2p- 2u p - vp = ± p 2 ị 2p- 2u p º vp (mod p) ị u º 2v(mod p)
 0,5đ
Kết hợp với p + 1 = 2uv ta cú
u2 º 1(mod p) ị (u - 1)(u + 1) º 0(mod p)
Suy ra u + 1Mp (vỡ u – 1 < p) 0,5đ
Ta thấy chỉ cú thể p = 3 và u = 2 (do u + 1Mp nờn u + 1 ³ p;p + 1M2u nờn 
p + 1 ³ 2u, suy ra u + 2 ³ 2u ).
 0,5đ
Điều này dẫn đến k 2 = 145 (vụ lý) . Ta cú điều cần chứng minh.
 0,5đ
 15
 ổ1 2 ử
Cõu 5: (3,0 điểm) Tỡm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển ỗ + xữ .
 ốỗ3 3 ứữ
Đỏp ỏn cõu 5:
 4 Thật vậy : Cho x = y = 0 ta được f (0) = 0 .
 0,5đ
Cho y = -x ta cú f (- x) = - f (x) suy ra f (x) là hàm lẻ.
Từ giả thiết : f (x - y) = f (x + (- y)) = f (x) + f (- y) = f (x) - f (y) 
 1 f (1- x) f (1) - f (x) 1- f (x) 0,5đ
Xột f ( ) = = = , " x ạ 1 (1)
 1- x (1- x)2 (1- x)2 (1- x)2
 1 x x 1
Mặt khỏc: f ( ) = f (1+ ) = f (1) + f ( ) = 1+ f ( )
 1- x 1- x 1- x 1- x
 x
 1
 f ( ) 2
 x 1 0,5đ
 = 1+ x = 1+ f ( - 1)
 1- x (1- x)2 x
 ( )2
 x
 x 2 1
 = 1+ (f ( ) - f (1))
 (1- x)2 x
 x 2 f (x) f (x) x 2
 = 1+ ( - 1) = 1+ - (2)
 (1- x)2 x 2 (1- x)2 (1- x)2
 1- f (x) f (x) x 2 1- f (x)
Từ (1) và (2) cú = 1+ - 
 2 2 2 2
 (1- x) (1- x) (1- x) (1- x) 0,5đ
Vậy f (x) = x , " x ạ 1, x ạ 0.
Kết hợp với giả thiết f (1) = 1; f (0) = 0 ta cú f (x) = x ; " x ẻ R.
 0,5đ
 -----HẾT-----
 6