Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Hồng Đức (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP: 10 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Câu hỏi 2 : ( 4,0 điểm )
 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm 
 I(4;0) và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến 
 xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC là (d1) : x y 2 0 và (d2 ) : x 2y 3 0 . Viết 
 phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC .
 b) Cho I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC có AB c, BC a,CA b . 
 IA2 IB2 IC 2
 Chứng minh rằng: 1.
 bc ca ab
Đáp án câu hỏi 2:
CÂU ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
2a) A 0.5
 I
 B M C
 d1 d2
 + Tìm được A(1;1)
 + Gọi là đường thẳng qua I và song song với d1 . Tìm được : x y 4 0
 + Gọi M  d2 M (5; 1) , M là trung điểm BC đường thẳng BC đi qua M và 0.5
 vuông góc với d1 .
 Tìm được (BC) : x y 6 0 .
 + Nhận xét B,C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn tâm I , bán kính 0.5
 R IA 10 có phương trình (x 4)2 y2 10 .
 + Giải hệ tìm được tọa độ B(3; 3),C(7;1) .
 + Phương trình (AB) : 2x y 3 0. 0.5
 Phương trình (AC) : y 1 0 .
2b) S abc 2Rsin A.sin B.sin C A B C 0.5
 + Ta có r ABC 4Rsin sin .sin
 p 4Rp sin A sin B sin C 2 2 2
 r B C IA2 B C 0.5
 + IA 4R.sin .sin tan .tan
 A
 sin 2 2 bc 2 2
 2
 IB2 C A IC 2 A B 0.5
 + Tương tự : tan .tan , tan .tan
 ca 2 2 ab 2 2
 IA2 IB2 IC 2 B C C A A B 0.5
 + tan .tan tan .tan tan .tan 1
 bc ca ab 2 2 2 2 2 2 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Câu hỏi 4: (3,0 điểm) 
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 2 không chia hết cho 3.
 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 +17 là một số chính phương.
Đáp án câu hỏi 4:
CÂU ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
4a) *) Nếu n3 thì (n2 n)3 nên (n2 n 2) 3 (1) 0.5
 *) Nếu n 3 thì (n2 2)3 nên (n2 n 2) 3 (2) 0.5
 Từ (1) và (2) n Z thì (n2 n 2) 3 0.5
4b) 2 2 0.5
 Đặt m = n +17 , (m N)
 2 2
 m - n = 17 (m - n)(m + n) = 17 = 1.17 = 17.1
 Do m + n > m - n 0.5
 m + n = 17 m = 9
 m - n = 1 n = 8
 2 2
 Vậy với n = 8 ta có n +17 = 64 +17 = 81 = 9 0.5 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Câu hỏi 6: ( 3,0 điểm) 
 Tìm các đa thức f x thoả mãn: x. f x 1 x 3 .f x 
Đáp án câu hỏi 6:
CÂU ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
6 0.75
 Ta có: x. f x 1 x 3 .f x (1)
 Cho x 0 f 0 0 (2) 
 Cho x 1 f 1 0 (3) 
 Cho x 2 f 2 0 (4) 
 1.0
 Từ (2) ;(3); (4) ta suy ra f x chia hết cho x; x-1; x-2 
 Nên f x x. x 1 . x 2 .P x 
 1.0
 Thay vào (1) ta được:
 x. x 1 . x 2 . x 3 .P x 1 x. x 1 . x 2 . x 3 .P x 
 P x 1 P x x
 P x C (C hằng số) 
 0.25
 Vậy f x x. x 1 . x 2 .C vớiC hằng số