Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Lê Duẩn (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT LÊ DUẨN
KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN 
 LỚP:10 g x x y 1 1 x 1 x y 1 x x y 2 x y 1
 (1). (1.0)
 y 2 x y 1 (y 2)2 4x y 2 2 x
gy2 x 2y x y2 x 0 (y x)2 xy2 y x y x (2). (1.0)
gTừ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 y 2 2 x
 y 2 2 x y 2 2 x 
 y 1
 y x y x 2y y 2 y(y 2)
 y 2
 (1.0)
 1
.Với y 1 x ( thỏa điều kiện).
 4
.Với y 2 x 4 ( thỏa điều kiện). (0.5) 
 1
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x ; y 1),(x 4; y 2).
 4
Câu 2: (4 điểm) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh tại các điểm A/,B/,C/ 
(đối diện với các đỉnh A,B,C). Tam giác A/B/C/ có cạnh lần lượt là a/,b/,c/ . 
 a/ b/ C A B 
Chứng minh rằng: 2sin sin sin .
 a b 2 2 2 
Đáp án câu 2:
 A A
.Ta có: a/ 2r.sin A/ 2( p a).tan .sin A/ (b c a).tan .sin A/
 2 2 0.5
 / / / 1 / / / A
Mà goc(B A C ) goc(B OC ) goc(B OA) 0.5
 2 2 2
 / A A A A A
Nên a (b c a).tan .sin (b c a).tan .cos (b c a).sin . 0.5
 2 2 2 2 2 2
 A
 / (b c a).sin
 a 2Rsin B 2Rsin C 2Rsin A A
Vây: 2 .sin
 a a 2Rsin A 2
 B C B C A A
 2sin .cos 2sin .cos
 sin B sin C sin A A
 .sin 2 2 2 2 
 A
 sin A 2 2cos
 2 1.0
 A B C B c 
 2cos cos cos 
 2 2 2 B C B C
 2sin .sin 2sin .sin (1)
 A 
 2cos 2 2 2 2
 2
 b/ A C
Tương tự: 2sin sin (2)
 b 2 2
 1.0 Câu 5: (3 điểm) a) Giả sử có 2n vận động viên cầu lông tham dự một giải đấu. Trong vòng 
đầu của giải, ban tổ chức cần phân ra n cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành n cặp đấu. 
b) Từ a) chứng tỏ rằng với mỗi n ¥ * , ta có (n 1)(n 2)(2n 1)(2n) chia hết cho 2n .
Đáp án câu 5:
Ta thiết kế việc chọn theo các trường hợp sau:
. TH1: chọn 2 người trong 2n người làm thành cặp đấu thứ 1. 
Có 2 cách chọn
 C 2n
. TH2: chọn 2 người trong ( 2n-2) người làm thành cặp đấu thứ 2. 
Có 2 cách chọn
 C 2n 2
. TH3: chọn 2 người trong (2n-4) người làm thành cặp đấu thứ 3. 
Có 2 cách chọn
 C 2n 4 1.0
...............................................
.TH(n-1): chọn 2 người trong 2n- 2(n-2) người làm thành cặp đấu thứ (n-1). 
Có 2 cách chọn
 C 4
. THn: chọn 2 người trong 2n-2(n-1) người làm thành cặp đấu thứ n. 
Có 2 cách chọn
 C 2
.Theo quy tắc nhân có: 2 . 2 . 2 ... 2. 2
 C 2n C 2n 2 C 2n 4 C 4 C 2
Vì thứ tự cặp đấu không được xét đến nên số cách ghép thành n cặp đấu là:
 1.0
 2 . 2 . 2 ... 2 . 2
 M C 2n C 2n C 2n C 2n C 2n 
 n!
b) Từ câu a) ta biến đổi
 (2n!) (n 1).(n 2)...(2n 1).(2n)
M . Vì M là một số nguyên dương nên công thức 
 n!.2n 2n 1.0
này chứng tỏ (n 1).(n 2)...(2n 1).(2n) chia hết cho 2n.
Câu 6: (3 điểm) Cho hàm số f : ¥ * ¥ thỏa mãn:
 f (1) 0 *
 ,m,n ¥
 f (m n) f (m) f (n) 2(6m.n 1)
Hãy tính: f (19).
Đáp án câu 6:
Ta có: f (1) 0
 gf (2) f(1 1) f(1) f(1) 2(6.1.1 1) 10. 0.5
gf (4) f(2 2) 2f(2) 2(6.2.2 1) 66. 0.5
 0.5
gf (8) f(4 4) 2f(4) 2(6.4.4 1) 322.