Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Lê Hữu Trác (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT: LÊ HỮU TRÁC
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP: 10 Câu 3:
Cho 3 số dương a,b,c thỏa a b c 1. Chứng minh rằng: 
 a b b c c a 6 .
Đáp án câu 3:
 3 2 2
Phân tích a b . a b . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương và 
 2 3 3
 2
 a b 
 3 2 3
 a b ta có: a b . a b . 3 
 2 3 2 2
 2
Đẳng thức xảy ra khi a b .
 3
 2
 b c 
 3 2 3
Tương tự ta có b c . b c . 3
 2 3 2 2
 2
Đẳng thức xảy ra khi b c .
 3
 2
 c a 
 3 2 3
 c a . c a . 3
 2 3 2 2
 2
Đẳng thức xảy ra khi c a .
 3
 2 2 2 
 a b b c c a 
 3 3 3 3 
Dođó: a b b c c a 
 2 2 2 2 
 3 3
 a b c 1 .2 6 (đpcm)
 2 2
 2 1
Đẳng thức xảy ra a b b c c a a b c .
 3 3
Câu 4:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 42n+1 + 3n+2 luôn chia hết cho 
13.
Đáp án câu 4:
Ta có 42 = 16  3 (mod 13) (42)n  3n (mod 13)
 42n  3n (mod 13) Mà 4  4 (mod 13) 42n+1  4.3n (mod 13)
Hay 42n+1  4.3n (mod 13) (1)
Mặt khác: 32 = 9  - 4 (mod 13) , mà 3n  3n (mod 13)
Từ đó 32.3n  - 4.3n (mod 13), hay là: 3n+2  - 4.3n (mod 13) (2)
Từ (1) và (2), ta có B  0 (mod 13).
Vậy B = 42n+1 + 3n+2 luôn chia hết cho 13 với mọi số tự nhiên n.