Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Lê Quý Đôn (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN
 KỲ THI OLIMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10
 NĂM HỌC 2016-2017
 1 Câu 2: (4 điểm).
Cho tam giác ABC thỏa mãn a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 ) 0 , trong đó a,b,c là độ dài 
ba cạnh của tam giác. Chứng minh tam giác ABC cân.
Đáp án câu 2:
 ĐÁP ÁN ĐIỂM
a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 ) 0
 3 2 2 2 3 3 2 2
 a (b c ) a (b c ) b c (b c) 0 1,0
 3 2 2 2 2 2
 b c a (b c) a (b bc c ) b c 0
 b c a c a2b a2c b2a b2c 0
 1,0
 b c a b a c ab bc ca 0
 1,0
Do ab bc ca 0 nên 
 b c 0 b c
 a b 0 a b
 1,0
 c a 0 a c
Vậy tam giác ABC cân. ĐCCM. 
 3 Câu 4 (3 điểm).
Chứng minh rằng (19611962 19631964 19651966 2)7 
Đáp án câu 4
 ĐÁP ÁN ĐIỂM
Ta có:
 (19611962 19631964 19651966 2)
 0,5
 7m 1 1962 7n 3 1964 7 p 2 1966 2
 0,5
 1964 1966
 7q 1 3 2 2 0,5
 0,5
 7q 1 32.33 . 654 2.23 . 655 2
 0,5
 7q 1 9.27 654 2.8 655 2
 0,5
 7q 1 9.(28 1) 654 2.(7 1) 655 2
 7r 9 2 3 (7r 14)7 (m,n, p, q, r ¥ )
 5 Câu 6 (3 điểm).
Tìm tất cả các hàm số trên tập N và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
 i) 2 f (n) f (n k) 2 f (n k) 3 f (n) f (k), k n
 ii) f (1) 1
 Đáp án câu 6
 ĐÁP ÁN ĐIỂM
Cho n=k=0 thì 
 2 2 f (0) 0
 2 f (0) 2 f (0) 3 f (0) 1,0
 f (0) 2
Nếu f (0) 0 chọn n=0 thì 2 f (k) 0 f (k) 0k ¥
 Chọn k=1 thì f (1) 0 mâu thuẫn với giả thiết 
Vậy f (0) 2 .
 Chọn n=1 thì ta được phương trình 
 2 f (1) f (k 1) 2 f (k 1) 3 f (1) f (k) k
 2 f (k 1) 2 f (k 1) 3 f (k) 0,5
 Đặt xk f (k) thi được phương trình sai phân 2xk 1 3xk 2xk 1 0
  2
 2
 Ta có được phương trình đặc trưng là 2 3 2 0 1
  
 2 1,0
 n
 n 1 
 Vậy f (n) c1 2 c2 
 2 
Cần tìm c1, c2.
Do f (0) 2, f (1) 1 nên ta tìm được c1=0, c2=-2
 n 0,5
 1 
Vậy hàm số cần tìm là f (n) 2 
 2 
 7