Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK 
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM 
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP 10 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 
 1 1 1
 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
 x y z
Đáp án:
 1 1 1
Ta có 2 nên 
 x y z
 1 1 1 y 1 z 1 (y 1)(z 1)
 1 1 2 (1)
 x y z y z yz
 1 1 1 x 1 z 1 (x 1)(z 1)
Tương tự ta có 1 1 2 (2)
 y x z x z xz
 1 1 1 x 1 y 1 (x 1)(y 1)
 1 1 2 (3)
 y x y x y xy
 1
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x 1)(y 1)(z 1) 
 8
 1 3
vậy Amax = x y z 
 8 2
Câu 4 (3,0 điểm)
 Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 5.
Đáp án:
Ta có 776 ≡ 1 (mod 5) => 776776 ≡ 1 (mod 5)
 777 ≡ - 3 (mod 5) => 777777 ≡ - 3777 (mod 5)
 778 ≡ 3 (mod 5) => 778778 ≡ 3778 (mod 5)
 => 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 (mod 5)
 Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 (mod 5)
 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777(3 - 1) (mod 5)
 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777
Mà 32 ≡ - 1(mod 5) => (32)388.3 ≡ 3 (mod 5)
Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 (mod 5)
Hay A chia cho 5 dư 2.
Câu 5 (3,0 điểm)
 Tính tổng S của tất cả các số tự nhiên có n chữ số a, b, c,,l. với
 1 a, b, c,...,l 9 .
Đáp án:
Mọi số đều có khả năng có mặt như nhau
Nếu a hiển diện ở vị trí thứ k từ phải sang trái thì giá trị của nó là: a.10k – 1
Có 1.2.3(n -1) có chữ số a đứng vị trí thứ k
Suy ra tổng giá trị số a tạo nên là: 
 10n 1
 1.2.3(n -1).a.(10n-1+10n-2++10+1) = 1.2.3(n -1).a. 
 9
Tương tự cho các số còn lại
 10n 1
Vậy S 1.2.3...(n 1). . a b c ... l 
 9
Câu 6 (3,0 điểm)
 1 1
 Tìm hàm số f(x) biết: (x 1) f (x) f , x 0, x 1.
 x 1 x
Đáp án: ĐÁP ÁN TOÁN 10 – KỲ THI OLIMPIC 10-3 LẦN II
 Câu Đáp án Điểm
Câu 1 6
 Điều kiện: x 0,5
 5
 3 3
 Đặt u 3x 2 u 3x 2
 2 0,5+0,5
 v 6 5x v 6 5x
 2u 3v 8
 Ta có hệ PT: 3 2 0,5
 5u 3v 8
 u 2 3x 2 8
 Giải hệ này ta được x 2 0,5+0,5+0,5
 v 4 6 5x 16
 Thử lại, ta thấy x 2 là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x 2 0,5
Câu 2 Gọi S là diện tích tam giác. Gọi diện tích các tam giác GBC, GCA 
 0,5
 và GAB lần lượt là S1, S2 và S3 . Khi đó S S1 S2 S3 
 S S S S AM S S AM AG S S
 có 1 2 3 1 2 3 2 3 0,5+0,5
 S1 S1 GM S1 S1 GM GM S1 S1
 BG S S CG S S
 tương tự: 1 3 ; 2 1 0,5
 GN S2 S2 GK S3 S3
 AG BG CG S S S S S S 
 2 1 2 3 1 3 6 0,5+0,5+0,5
 MG NG KG S1 S2 S3 S2 S3 S1 
 S
 Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi S S S 
 1 2 3 3 0,5
 Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu 3 1 1 1
 Ta có 2 nên 
 x y z 0,5+0,5
 1 1 1 y 1 z 1 (y 1)(z 1)
 1 1 2 (1)
 x y z y z yz
 1 1 1 x 1 z 1 (x 1)(z 1)
 Tương tự ta có 1 1 2 (2) 0,5+0,5
 y x z x z xz
 1 1 1 x 1 y 1 (x 1)(y 1)
 1 1 2 (3)
 y x y x y xy
 1
 Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x 1)(y 1)(z 1) 
 8 0,5+0,5
 1 3
 vậy Amax = x y z 
 8 2
Câu 4 Ta có 776 ≡ 1 (mod 5) => 776776 ≡ 1 (mod 5) 0,25