Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ nhất - Sở GD&ĐT Đắk Lắk (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ NHẤT
 ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 10
 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: Giải hệ phương trình sau
 x 2 x y 2 y 2xy
 2 2 2
 3x y 7x y 10xy 10
Câu 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi I là giao điểm 
của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm cạnh CD. Nối MI kéo dài cắt 
cạnh AB ở N. Từ B kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng đó cắt đường 
thẳng AC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, đường thẳng này cắt 
đường thẳng BD ở F. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BF và AI.IE IB2 .
Câu 3: a1,a2 ,...,an , A là những số cố định đã cho trước và x1, x2 ,..., xn là những số 
thay đổi, nhưng thỏa mãn điều kiện: a1x1 a2 x2 ... an xn A. Với giá trị nào của 
 2 2 2
 x1, x2 ,..., xn thì biểu thức x1 x2 ... xn đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu 4: Cho m,n là các số tự nhiên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 f m,n 36m 5n
Câu 5: Gọi A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 30. 
Tìm số k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đều tồn tại hai số 
chia hết cho nhau.
Câu 6: Tìm đa thức f (n) : ¥ ¥ sao cho: f f n f n 2n 3
 .................Hết...............
Họ và tên thí sinh:. 
SBD:Phòng thi:..
 1 B
 C
 N E
 I
 M
 O F
 A
 D
 Trong ICD , IM là đường trung tuyến, EF / /CD nên IM đi qua 
 trung điểm của EF .
 Mà IM / /BE nên IM chứa đường trung bình của FBE
 Suy ra I là trung điểm của đoạn BF (đccm1)
 Ta có: A· EF ·ACD ·ABF
 Suy ra: AIB và FIE đồng dạng
 AI BI
 IF IE
 AI.IE BI.IF
 AI.IE BI 2
 (đccm2)
Câu a1,a2 ,...,an , A là những số cố định đã cho trước và 3
 3
 x1, x2 ,..., xn là những số thay đổi, nhưng thỏa mãn điều kiện: 
 a1x1 a2 x2 ... an xn A. Với giá trị nào của x1, x2 ,..., xn thì 
 2 2 2
 biểu thức x1 x2 ... xn đạt giá trị nhỏ nhất?
 Theo bất đẳng thức Svacxơ, ta có:
 2 2 2 2 2 2 2 2
 A a1x1 a2 x2 ... an xn a1 a2 ... an x1 x2 ... xn 
 Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: x1 a1t, x2 a2t,..., xn ant (1) với t 
 2
 2 2 2 A
 là một số nào đó. Như vậy x1 x2 ... xn 2 2 2 , dấu 
 a1 a2 ... an
 đẳng thức xảy ra khi ta có các đẳng thức (1), tức là khi:
 2 2 2 2 2 2
 A a1 t a2t ... ant t a1 a2 ... an 
 A
 hay t 2 2 2
 a1 a2 ... an
 2 2 2
 Vậy biểu thức x1 x2 ... xn đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
 3 Dễ thấy tập Ao 11;13;17;19;21;23;27;29 có 8 phần tử không 
 chia hết cho nhau.
 Vậy k 9
 Ta chứng minh k 9 là giá trị cần tìm.
 Gọi S là một tập con của A có 9 phần tử
 Nếu S chứa 1, hiển nhiên là thõa mãn bài toán
 Nếu S không chứa 1, có chứa 3 thì sẽ chứa ít nhất 1 cặp (3,9), 
 (3,21), (3,27) vậy nên S thõa mãn bài toán.
 Giả sử S không chứa 1 và 3. Khi đó S chứa 9 số trong 10 số còn 
 lại. Mà 10 số còn lại có chứa 2 cặp (7,21) và (9,27). Vậy nên còn 
 lại ít nhất 1 cặp nằm trong tập S. Vậy S thõa mãn bài toán.
 Hay k=9 là số nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử 
 đều tồn tại hai số chia hết cho nhau.
Câu Tìm đa thức f (n) : ¥ ¥ sao cho: f f n f n 2n 3 3
 6
 Do f f n f n 2n 3 nên f n có bậc không quá 1.
 Giả sử: f n an b (a,b là hằng số)
 f f n f n 2n 3
 a an b b an b 2n 3
 a2 a n ab 2b 2n 3,n
 a2 a 2 a 1
 ab 2b 3 b 2
 Vậy đa thức cần tìm là: f n n 1
 5