Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THCS&THPT Đông Du (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THCS & THPT ĐÔNG DU
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 11 Đáp án câu 2:
a) lim n4 n2 1 3 n6 1 lim n4 n2 1 n2 ( 3 n6 1 n2 ) 
Ta có:
 1 
 2 1 
 n 1 2 1
lim n4 n2 1 n2 lim lim n 
 4 2 2 
 n n 1 n 1 1 2
 1 2 4 1 
 n n 
 1
lim( 3 n6 1 n2 ) lim 0
 3 (n6 1)2 n2 3 (n6 1) n4
 1
 Do đó lim n4 n2 1 3 n6 1 
 2
 *
b) un 0,n N
 1 1
un 1 un un 1 un 
 n 1 n 2017n n 1 n 2017n
 1
Do đó: u2 u1 
 2 1 20171
 1
 u3 u2 
 3 2 20172
 ...
 1
 un un 1 
 n n 1 2017n 1
 n 1
 1 
 1 
 1 1 1 2017
Suy ra: un u1 ... 
 n 1 20171 20172 2017n 1 2016
 n 1
 1 
 1 
 n 2017
 u 2017 
 n 2016
 n 1
 1 
 1 
 n 2017 1 1 ... 1 2018 2018
1 u 2017 n 2018 1 (Cô si)
 n 2016 n n
 2018 
Mặt khác lim 1 1. Vậy limun 1
 n ( Do cosC 0 và cos A B 1). 
 Dấu bằng trong (3) xảy ra khi A B hoặc C 
 2
 2
 Từ đó P 4 2cos2 C 1 2 2cos2 C 1 1 2cosC 
 8cos2 C 2cos2 C 1 2cosC
 2
 16cos4 C 8cos2 C 1 1 2cosC 4 4cos2 C 1 1 2cosC 4 4 (4). 
 Dấu bằng trong (4) xảy ra khi C 
 3
 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi A B C 
 3
Câu 4. (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thoả mãn
 f x 2 y 2 xf x yf y ,x, y ¡
Đáp án câu 4
 Cho x 0 , từ 1 suy ra f y2 yf y ,y ¡
 Cho y 0, từ 1 suy ra f x2 xf x ,x ¡ .
 Do đó (1) trở thành:
 f x2 y2 f x2 f y2 ,x, y ¡ f x y f x f y ,x, y 0 * 
 thay y bởi y từ 1 ta được :
 f x2 y2 xf x yf y 
 yf y yf y ,y ¡ f x f x ,x ¡
 yf y yf y ,y ¡ f x f x ,x ¡ , chứng tỏ f là hàm số lẻ. Do đó 
 với mọi x 0, y 0 ta có
 f x y f x y f x f y f x f y 
 f x f x y f y 
 f x y y f x y f y 
 f x y f x f y ,x 0,y 0 ** 
 Với mọi x 0, y 0 ta có
 f x y f x y f x f y f x f y f x f y *** 
 Kết hợp * , ** ,(***) và ta được f x y f x f y ,x, y ¡ . 0 a ,a ,a a ,a a a ,........,a a ... a 200
 1 2 1 2 1 2 3 1 2 99 
Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200.
Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư trong 
phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của chúng chia hết 
cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm
 HẾT