Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Quang Trung (Có đáp án)

docx 3 trang lethu 07/10/2025 160
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Quang Trung (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Quang Trung (Có đáp án)

Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần 2 - Trường THPT Quang Trung (Có đáp án)
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
 KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN 2
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 11 Cho x = 0 f(0) = 0 (2) 
Cho x = 1 f(1) = 0 (3) 
Cho x = 2 f(2) = 0 (4) 
(2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hết cho x; x-1; x-2 
 f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) 
Thay vào (1) Ta có :
 x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) 
 P(x-1) = P(x) ; x
 P(x) = C: hằng số 
Vậy: f(x) = x.(x-1).(x-2).C Với C là hằng số.
Câu 5: Cho phương trình x3 3xy2 y3 n với n nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình 
có một cặp nghiệm nguyên (x, y) thì nó có ít nhất ba cặp nghiệm nguyên.
Đáp án câu 5:
  Ta có: P(x, y) = x3 3xy2 y3
 3
 = y x 3 y x x2 x3
 2 3
 = y3 3y x y x y 
  Vậy: P(x, y) = P( y - x, -x ) = P( -y, x - y )
  Do đó: Nếu (x, y) là một nghiệm nguyên của phương trình P(x, y) = n ( n nguyên dương) 
 thì ( y-x, -x) và (-y, x – y) cũng là nghiệm .
  Rõ ràng: 3 nghiệm này phân biệt.
 Thật vậy: vì nếu chúng trùng nhau thì x =y = 0
 Khi đó: n = 0 Vô lí !
Câu 6: Tìm một cặp số nguyên dương (a, b) thoả mãn 2 điều kiện sau:
 1) Tích: ab(a + b) không chia hết cho 7;
 2) (a b)7 a7 b7 chia hết cho 77 .
Đáp án câu 6:
 7
 Ta có: a b a7 b7 7a6b 21a5b2 35a 4b3 35a3b4 21a 2b5 7ab6 
 = 7ab( a + b) a 4 2a3b 3a 2b2 2ab3 b4 
 2
 = 7ab( a +b ) a 2 ab b2 
 Theo giả thiết ta suy ra: a 2 ab b2 chia hết cho 73 .
 Chọn: a = 1, a 2 ab b2 =73 ta được: b2 b 342 0
 Giải phương trình ta được: b = 18 hoặc b = -19 ( loại)
 Vậy cặp ( a, b) = ( 1, 18) thoả điều kiện bài toán.
 HẾT

File đính kèm:

  • docxde_thi_mon_toan_lop_11_ky_thi_olympic_10_3_lan_2_truong_thpt.docx