Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Hoàng Minh Trung (Có đáp án)

doc 6 trang lethu 07/10/2025 170
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Hoàng Minh Trung (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Hoàng Minh Trung (Có đáp án)

Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Hoàng Minh Trung (Có đáp án)
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK 
TRƯỜNG THPT: THPT PHAN ĐĂNG LƯU
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MễN: TOÁN ; LỚP:11
 Giỏo viờn ra đề: Hoàng Minh Trung
 Số điện thoại: 0983343829
 1 Cõu 2: (4,0 điểm) Cho dóy số xỏc định bởi: 
 (un )
 ùỡ u = 4
 ù 1
 ớ 1 *
 ù u = (u + 4 + 4 1+ 2u ),n ẻ Ơ
 ợù n+ 1 9 n n
Tỡm cụng thức của số hạng tổng quỏt ?
 (un )
Đỏp ỏn cõu 2:
 x 2 - 1
 • Đặt x = 1+ 2u ị x 2 = 1+ 2u ,x ³ 0 ị u = n
 n n n n n n 2
Thay vào giả thiết: 
 x 2 - 1 1 x 2 - 1
 n+ 1 = ( n + 4 + 4x ) Û (3x )2 = (x + 4)2
 2 9 2 n n+ 1 n 1điểm
 *
Û 3xn+ 1 = xn + 4, " n ẻ N ,xn ³ 0
 n+ 1 n n
 • Ta cú 3xn+ 1 - xn = 4 Û 3 xn+ 1 - 3 xn = 4.3
 n n *
Đặt yn = 3 .xn ị yn+ 1 = yn + 4.3 , " n ẻ N
 n n- 1 n+ 1 2 điểm
ị yn+ 1 = y1 + 4(3 + 3 + ... + 3) Û yn+ 1 = y1 - 6 + 2.3
 • Ta cú n
 x1 = 3 ị y1 = 9 ị yn = 3 + 2.3
 • Suy ra,
 1 1 4 1
 x = 2 + , " n ẻ N * ị u = (3 + + ), " n ẻ N * 1điểm
 n 3n- 1 n 2 3n- 1 32n- 2
 3 5 2
Cõu 4: (3,0 điểm) Giả sử đa thức cú năm nghiệm 
 P (x) = x + ax + b x1,x2,x3,x4,x5.
 2
Đặt f (x) = x - 3. Chứng minh rằng
 .
 f (x1)ìf (x2 )ìf (x3 )ìf (x4 )ìf (x5 )³ - 243
Đỏp ỏn cõu 4:
Vỡ là nghiệm của nờn 
 x1,x2,x3,x4,x5 P (x)
 1điểm
 P (x) = (x - x1)(x - x2 )(x - x3 )(x - x4 )(x - x5 )
Ta cú 
 f (x1)f (x2 )f (x3 )f (x4 )f (x5 )
= x - 3 x + 3 x - 3 x + 3 K x - 3 x + 3
 ( 1 )( 1 )( 2 )( 2 ) ( 5 )( 5 )
= x - 3 K x - 3 x + 3 K x + 3
 ( 1 ) ( 5 )( 1 ) ( 5 )
= P ( 3)ìP (- 3) = (- 9 3 + 3a + b)(9 3 + 3a + b) 
 2
= (3a + b) - 243 ³ - 243 2 điểm 
 22 p 1
Cõu 5: (3,0 điểm) Với p là số nguyờn tố, đặt n . Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho 
 3
2n 2 khụng chia hết cho n.
Đỏp ỏn cõu 5:
 • Với p 2 , ta cú 2n 2 chia hết cho n .
 Với p 3, ta cú 2n 2 khụng chia hết cho n . 1điểm
 • Với p 3, ta sẽ chứng minh 2n 2 chia hết cho n. Thật vậy, ta cú 
 4 2 p 1 1 2 p 1 1 
 n 1 .
 3
 Vỡ p là số nguyờn tố lẻ nờn 2 p 1  1 mod 3 (1)
 Mặt khỏc, theo định lý Fermat nhỏ ta cú 2 p 1  1 mod p (2).
 Từ (1) và (2) suy ra 2 p 1 13p (vỡ p 3). 1điểm
 Từ đú suy ra n 12 p , nờn (2n 1 1)(22 p 1) .
 Mà 22 p 1n (giả thiết), nờn 2n 1 1n hay 2n 2n .
 Vậy p 3 là giỏ trị cần tỡm. 1điểm
 5

File đính kèm:

  • docde_thi_mon_toan_lop_11_ky_thi_olympic_10_3_lan_thu_ii_hoang.doc