Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Buôn Hồ (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT BUÔN HỒ
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP: 11 Câu 2. (4 điểm)
 u1 1
Cho dãy số (u ) biết: . Tính u .
 n 3un 1 2017
 un 1 n 1
 3 un
Đáp án:
 1
 u 
 n un tan
Ta có u 3 6 n 1.
 n 1 1 
 1 u . 1 u .tan
 n 3 n 6
Ta chứng minh un tan (n 1) n 1 (1) 
 4 6 
 3 
Giả sử (n 1) k (n ¥ *,k ¢ ) n 1 3 6k (vô lí). Vậy tan (n 1) xác định 
 4 6 2 2 4 6 
n ¥ *
Với n =1 thì u 1 tan suy ra (1) đúng. Giả sử (1) đúng khi n k(k ¥ *) , 
 1 4
nghĩa là uk tan (k 1) . Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1. Tức là chứng minh 
 4 6 
 tan (k 1) tan
 uk tan 
 6 4 6 6 
uk 1 tan k . Thật vậy, uk 1 tan k.
 4 6 4 6 
 1 uk .tan 1 tan (k 1) .tan
 6 4 6 6
 (1) đúng khi n = k +1 đpcm.
Vậy u2017 tan 2016. tan 1
 4 6 4 Câu 4. (3 điểm) Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ ¡ thỏa mãn:
 3 f (2x 1) f (x)x ¡ (1)
Đáp án.
Thay x = -1 vào (1) ta được f ( 1) 0 .
 x 1 1 x 1 
Từ (1) thay x bởi ta được f (x) f x ¡ (2)
 2 3 2 
 x 1 x 1 1 x 1 2 
Từ (2) thay x bởi ta được f f 2 
 2 2 3 2 
Do đó:
 1 x 1 2 1 x 1 2 22 
 f (x) 2 . f 2 3 . f 3 ...
 3 2 3 2 
 1 x 1 2 22 ...2n 1 1 x 1 2n 
 n . f n n . f n x ¡
 3 2 3 2 
 x 1 2n
Ta có lim 1x ¡
 n 2n
 1 x 1 
 f (x) lim n . f n 1 0. f ( 1) 0x ¡
 n 3 2 
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy f (x) 0,x ¡ là hàm số cần tìm.
Câu 5. (3 điểm) Biết rằng số nguyên dương n có tính chất n2 n 1 phân tích được thành tích của 4 số 
nguyên tố. Chứng minh rằng n 67 .
Đáp án.
 2
Giả sử n n 1 a1.a 2.a3.a4 ( ai là số nguyên tố (i 1,2,3,4 )) và a1 a2 a3 a4
 2 2
Ta có n n 1 n(n 1) 1 và n(n 1) là số chẵn nên n n 1 là số lẻ. Suy ra ai 3i 1,2,3,4
Do n(n 1) có chữ số tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6 nên n2 n 1 có chữ số tận cùng bằng 1, hoặc 3, 
hoặc 7. Suy ra ai 5i 1,2,3,4
 2
Nếu a1 3 thì n n 1 3a 2.a3.a4 M3 n 3k 1(k ¥ ) . 
 2 2 2
Khi đó (3k 1) 3k 1 1 9k 9k 3 3a 2.a3.a4 a2.a3.a4 3k 3k 1 suy ra a2.a3.a4 không chia 
hết cho 3 suy ra a2 không chia hết cho 3, mà a2 5 a2 7 .
 2 k 7t 1
Nếu a2 7 thì 3k 3k 1M7 (t ¥ ) . Vì n bé nhất nên ta chọn k 7t 1 khi đó:
 k 7t 5