Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Cao Bá Quát (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT
KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN 
 LỚP: 11 n 2 S 1
Ký hiệu giới hạn limS là S. Từ S . S 1 S S 1
 n n 1 2(n 1) n 2
Câu 3 (3 điểm):
 Cho ABC có A· CB 2A· BC . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho CD = 2BD và E đối 
xứng với A qua D.
 Chứng minh rằng E· CB 1800 2E· BC .
Đáp án câu 3: 
 G
 C
 H
 P A
 D
 E B
 Gọi H là trung điểm DC, thì ABEH là hình bình hành. Lấy điểm G trên tia đối CB sao 
cho CG = CA.
 a
 Đặt: BD = DH = HC = , CA = b, AB = c, BE = AH = x, AD = DE = y, CE = z.
 3
 AB CA
 Ta có ABG đồng dạng CAG nên: c2 b(a b) (1)
 BG AG
 Sử dụng công thức tính đường trung tuyến trong các tam giác: ACD, ABH, CDE 
ta có: 
 2a 2
 2x 2 y2 b2 (2)
 9
 2a 2
 2y2 c2 x 2 (3)
 9
 2a 2
 2c2 y2 z2 (4)
 9
 2a 2
 Từ (2) và (3) suy ra: x 2 c2 2b2 4x 2 
 3
 2 2a a 
 kết hợp với (1) ta có: x b b (5)
 3 3 
 2a 2
 Từ (3) và (4) suy ra: x 2 c2 2z2 4c2 
 3
 2a
 kết hợp với (1) và (5) ta có: z b 
 3
 do đó, x 2 z z a hay BE2 CE CE BC CE.EP
 BE EP
 (trong đó: Điểm P nằm trên CE và CP = BC) suy ra 
 CE BE
 Ta lại có B· EP C· EB nên hai tam giác BEP và CEB đồng dạng, do đó: 
 1
 E· CB E· BP E· BC 1800 E· CB E· CB 1800 2E· BC (đpcm)
 2