Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT CưMgar (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH DAKLAK
 TRƯỜNG THPT CƯMGAR
 KỲ THI OLYMPIC 10 - 3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP 11 Câu 3: (3đ)
Trong tam giác ABC điểm E là trung điểm của cạnh BC, điểm D nằm trên cạnh AC, D· EC 800 , 
AC 1, B· AC 600 , ·ABC 1000 và ·ACB 200 . Tính tổng diện tích của tam giác ABC và hai 
lần diện tích của tam giác CDE ( S S ABC 2S CDE ).
Đáp án câu 3:
 B
 1000
 E
 800
 600 200
A D C
Từ điểm C hạ đường vuông góc d xuống đường thẳng AB.
Gọi A’, B’, E’ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, E qua đường thẳng d.
Khi đó:
 AA'C đều và ·ACB B· CB ' B· 'CA' 200 (0,5đ)
 EE 'C và DEC là các tam giác cân với góc ở đỉnh bằng 200 và cạnh bên chung EC.
Suy ra, các tam giác này bằng nhau. (0,5đ)
Suy ra, S S ABC 2S CDE S ABC 2S EE 'C (0,5đ)
 1
Do E là trung điểm cạnh BC nên 2S S S (0,5đ)
 EE 'C BE 'C 2 BB'C
 1 3
Suy ra, S S 2S S 2S S (1đ)
 ABC CDE ABC EE 'C 2 AA'C 8
Câu 4: (3đ)
Xác định tất cả các hàm số f : ¢  ¢ có các tính chất sau:
 i) f (1) 1
 ii) f (x y) f (x) f (y) f (x y) f (x) f (y) với mọi x, y ¢
Đáp án câu 4:
Cho x = y = 0, theo ii) ta được f (0) 0 . (0,5đ)
Cho y = 1, theo ii) ta được f (x 1) f (x) f (1) f (x 1) f (x) f (1)
Do f (1) 1 ta được f (x 1) f (x) 1 f (x 1) f (x) 1 (*)
Với x = 2, từ (*) ta được f (3) f (2) 1 f (1) f (2) 1
Hay f (3) f (2) 1 f (2) 1 (**)
 f (2) 1 2
Hiển nhiên f (2) 1. (**) f (3) 1 
 f (2) 1 f (2) 1
Vì f (2), f (3) ¢ , Suy ra f (2) 1 phải là ước của 2. (0,5đ)
Xảy ra một trong 4 khả năng sau:
 Kn1) f (2) 1 2 f (2) 3, f (3) 2
 Kn2) f (2) 1 1 f (2) 2, f (3) 3
 Kn3) f (2) 1 1 f (2) 0, f (3) 1
 Kn4) f (2) 1 2 f (2) 1, f (3) 0
+ Với f (2) 3, f (3) 2
Cho x = 3, theo (*) ta được f (4) f (3) 1 f (2) f (3) 1 f (4) 9
 5
Cho x = 4, theo (*) ta được f (5) f (4) 1 f (3) f (4) 1 f (5) ¢ (loại). (0,5đ)
 2