Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP: 11 u ;u
Suy ra n 1 n 1 là nghiệm của phương trình 
 2 2 0,5x2
 x 4un x un 2 0
 u u 4u u 4u u
Theo định lý Viet ta có n 1 n 1 n n 1 n n 1 1,0
 u
Từ đó suy ra Tất cả các số hạng của dãy số n  đều là số 
nguyên.
Câu 3 :(3 điểm)
Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước. Tìm tam giác 
có tổng bình phương các cạnh là lớn nhất.
ĐÁP ÁN CÂU 3 :
 NỘI DUNG ĐIỂM
Gọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R 
cho trước . Ta phải tìm tam giác có AB2 BC 2 AC 2 lớn 0,25
nhất 
Áp dụng định lí hàm số Sin ta có : 0,25
 AB2 BC 2 AC 2 4R2 (sin2 A sin2 B sin2 C)
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 0,5
 S sin2 A sin2 B sin2 C
 3 1
 cos2A cos2B cos2C 
 2 2
 3 1
 2cos2 A 1 2cos(B C)cos(B C) 
 2 2
 3 1
 cos2 A cos Acos(B C)
 2 2
 9 1
 cos2 A cos A.cos(B C) 
 4 4
Ta chỉ cần xét giá trị lớn nhất của tam thức 0,5
 1
 S cos2 A cos A.cos(B C) 
 1 4 0,5
 cos2 B C 1 0 cos B C 1 0
Ta có vì 0,25
Do đó tam thức luôn cùng dấu với hệ số của cos2A
 S1 0
Tức là 
Vậy S lớn nhất khi dấu bằng xảy ra, tức là 
   0,25
 0 cos2 B C 1 cos B C 1 B C
 1 1
 cosA cos B C 
Mặc khác 2 2 Câu 5 ::(3 điểm) 
Tồn tại hay không một số nguyên x sao cho x2 x 1 chia hết cho 2017
ĐÁP ÁN CÂU 5 :
 NỘI DUNG ĐIỂM
Ta có số 2017 là số nguyên tố có dạng 3k 2 . 0,5
 2
Giả sử tồn tại x nguyên thõa mãn x x 1 chia hết cho 
 0,25
2017
Từ đó suy ra tồn tại a 1,2,...,2016 thõa mãn a2 a 1 
  0,25
chia hết cho 2017 (*)
Ta có : a3 1 a 1 a2 a 1 2017 a2015 12017 hay 0,5x2
 a2015 1 mod 2017 
 2016
 a  a mod 2017 (1) 0,5
Theo định lý Fermat ta có : a2016 1 mod 2017 (2) 0,5
Từ (1) và (2) ta có a 1 mod 2017 suy ra a 1 vô lý 0,25
 một số nguyên x sao cho x2 x 1 chia 
Vậy không tồn tại 0,25
hết cho 2017
Câu 6 : :(3 điểm)
Có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5 và 4 
quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa 
khác màu vừa khác số.
ĐÁP ÁN CÂU 6 :
NỘI DUNG ĐIỂM
Bước 1 : Chọn quả cầu vàng : có n=4 cách chọn 0,5
Bước 2 : Chọn quả cầu đỏ : Lúc này ta phải loại đi quả cầu đỏ trùng số với 1,0
quả cầu vàngđã chọn ở bước 1. Vì thế số cách chọn quả cầu đỏ là m=4.
Bước 3 : Chọn cầu xanh : Lúc này ta phải loại 2 quả cầu xanh: một quả mang 1,0
số trùng với số của quả cầu đỏ đã chọn ở bước 2 và một quả mang số trùng 
với số của quả cầu vàng ở bước 1. Vì thế chỉ có thể chọn một quả cầu xanh 
trong 4 quả còn lại.
Số cách chọn là p=4
Vậy có n.m.p=64 cách chọn thõa mãn yêu cầu bài toán. 0,5