Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Phú Xuân (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG THPT PHÚ XUÂN
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP 11
 1 ĐÁP ÁN
 3 2 2
 2x y 2 x 2y 3 xy 5y y 1 
Câu 1(4 Điểm): Giải hệ phương trình: x, y ¡ 
 2 x 3 y 5 x 5 x y 4 3y
 y 3 0
Hướng dẫn giải :Điều kiện : 
 x y 2 0
Phương trình thứ nhất được biến đổi trở thành phương trình:
2x3 x2 y 2x2 2xy2 3xy 5y3 5y2 0
 2x3 2x2 y 2x2 3x2 y 3xy2 3xy 5xy2 5y3 5y2 0
 2x2 x y 1 3xy x y 1 5y2 x y 1 0 
 x y 1 2x2 3xy 5y2 0
 y x 1
Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình:
2 x 3 x 4 x 5 2x 3 3 x 1 1 
 t 0
 t x 4
Đặt 2 . Thế vào phương trình 1 ta được phương trình: 
 x t 4
 1 2 t 2 7 t t 2 9 2t 2 5 3 t 2 5 t 2 9 2t 2 3 2t3 3t 2 14t 15
 t 3 
 t 3 t 3 2t 2 5 2t 2 3t 5 0 
 2 2
 t 3 2t 5 2t 3t 5
+ Với t 3 x 4 3 x 5 y 4 
 2
 2t 3t 5 0
 2 2 
+ Với t 3 2t 5 2t 3t 5 t 0 
 2 2 2 2
 t 3 2t 5 2t 3t 5 
 t 1
 t 1 t 5 x 4 5 x 1 y 0
 2 
 4 2 t 5 
 t 12t 35 0 x 3 y 2
 2 t 7 x 4 7 
 t 7
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của hệ phương trình là: x; y 1;0 ; 3;2 ; 5;4  
 3 Câu 4 (3 Điểm): Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy M ∈ AB, P ∈ CD sao cho AM = DP = 13a. 
Tìm diện tích thiết diện qua MP và song song với AC.
Hướng dẫn giải: 
Thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ (MN // PQ // AC). Suy ra AM = NC = DQ = DP = 13a.
 AMQ CNP c.g.c MQ NP
Dễ thấy nên thiết diện là hình thang cân.
Áp dụng định lí hàm cosin vào AMQ :
 1
MQ2 AM 2 AQ2 2AM.AQ.cos600 a2
 3 
Ta cm được các tam giác vuông MIQ và NPK bằng nhau, cho MI KN , suy ra:
 A
 1 1 2 1 1
MI MN PQ a a a
 2 2 3 3 6 
 M
Từ tam giác vuông MIQ cho: 
 Q
 1 1 11a2 a 11
 IQ2 MQ2 MI 2 a2 a2 IQ 
 3 36 36 6
 2 D
 1 a 11 P
SMNPQ MN PQ .IQ N
 2 12 
 C
Câu 5(3 Điểm) : 
Chứng minh phương trình : a cos 2x bsin x cos x 0 1 luôn có nghiệm với mọi a,b .
Hướng dẫn giải :
Đặt f x a cos 2x bsin x cos x 0 f x xác định trên ¡ và 1 trở thành f x 0 
Với mọi x0 ¡ , lim f x f x a cos 2x0 bsin x0 cos x0 f x0 nên f x liên tục tại 
 x x0
mọi x0 ¡ , suy ra f x liên tục trên ¡ .
 3 
Ta lại có: f 0 a 1; f a 1; f a b; f a b. .
 2 2 
 3 3 
Vì f 0 f f f 0 nên trong bốn số f 0 , f , f , f phải có 
 2 2 2 2 
hai số mà tích của chúng bé hơn hoặc bằng 0
Suy ta phương trình f x 0 có nghiệm với mọi giá trị của tham số a,b . 
 5