Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic 10-3 lần thứ II - Trường THPT Văn hóa III (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
 TRƯỜNG : VĂN HÓA III
 KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ II
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN - LỚP 11 0 un 1
 *
Câu 2: (4 điểm). Cho dãy số (un ) thõa mãn: 1 , n  
 u (1 u ) 
 n 1 n 4
Tìm giới hạn sau: L = lim un 
 n 
Đáp án câu 2:
 Điểm
 Nội dung
Áp dụng bất đẳng thức cô sic ho hai số dương:un 1 và 1 un và kết hợp 0,25
với giả thiết ta có:
 1
u (1 u ) 2 u (1 u ) 2. 1 u u ,n N * 0,25x3
 n 1 n n 1 n 2 n 1 n
Vậy (un ) là dãy đơn điệu tăng. Mặt khác (un ) bị chặn trên bởi 1
Vậy theo nguyên lý giới hạn, tồn tại giới hạn hữu hạn lim un 0,25x2
 x 
 1 *
Ta có: un 1.(1 un ) ,n N
 4 0,25
 1
 lim un 1.(1 un ) 
 n 4 0,25
 1
 L(1 L) 
 0,25
 4
 2
 1 1
 L 0 L 0,25x2
 2 2
 1
Vậy: lim un 
 n 2 0,25 Câu 4: (3 điểm). Tìm hàm số f : ¡ ¡ thõa mãn điều kiện :
 1 3 1
 f x x 3 , x 0 
 x x
Đáp án câu 4:
 Nội dung Điểm
 1
Giả sử hàm số f thỏa mãn đề bài. Đặt t x , x 0 khi đó :
 x 0,5
 3 3 1 1 3 1 3
t x 3 3 x x 3 t 3t 
 x x x
 0,5
 1
Ta có t x x2 tx 1 0, phương trình luôn có nghiệm do 
 x
 t 2 4 0 vì vậy khi x nhân tất cả các giá trị thuộc ¡ \{0} thì t nhận 
tất cả các giái trị thuộc ¡
Vậy f (t) t3 3t,t ¡ hay f (x) x3 3x,x ¡ 1,5
 0,25 Câu 6: (3 điểm). Trên bảng viết 10 dấu cộng và 15 dấu trừ. Với 24 lần thực hiện, mỗi lần xóa 
đi 2 dấu bất kì rồi lại thêm vào 1 dấu (cộng hoặc trừ) để cuối cùng trên bảng chỉ còn lại 1 dấu 
duy nhất. Biết rằng dấu được thêm vào sẽ là dấu trừ nếu trước đó đã xóa đi 2 dấu khác nhau, 
ngược lại dấu được thêm vào sẽ là dấu cộng. Hỏi dấu còn lại trên bảng là dấu gì?
Đáp án câu 6:
 Nội dung Điểm
Ta thấy, nếu xóa đi 2 dấu cộng thì sẻ thêm vào một dấu cộng, do đó số dấu trừ trên 0,5
bảng không thay đổi. 
 Nếu xóa đi hai dấu trừ thì phải thêm vào một dấu cộng, do đó số dấu trừ giảm đi 
2. 0,5
 Nếu xóa 1 dấu cộng và 1 dáu trừ thì phải thêm vào một dấu trừ, do đó số dấu trừ 
trên bảng không thay đổi. 0,5
 Như vậy tính bất biến là: sau mỗi lần thực hiện việc xóa và thêm dấu, số dấu trừ 
trên bảng hoặc không thay đổi hoặc giảm đi 2. Mặt khác số dấu trừ ban đầu là số lẻ 
nên sau mỗi lần thực hiện thì số dấu trừ còn lại trên bảng bao giờ cũng là số lẻ. 1,0
 Sau 24 lần thực hiện trên bảng chỉ còn lại một dấu duy nhất mà dấu trừ không thể 
mất hết nên dấu còn lại trên bảng phải là dấu trừ. 0,5
 ------------------------------------HẾT------------------------------------
 Đăk lăk, ngày 20 tháng 2 năm 2017
 Người ra đề và đáp án
 NGUYỄN ĐÌNH HOÀNG