Đề thi môn Toán Lớp 11 - Kỳ thi Olympic truyền thống 30-4 lần thứ II - Trường THPT Ngô Gia Tự (Có đáp án)

 KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 LẦN THỨ II
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN - LỚP 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ ...
 1
 un un 1 
 n n 1 2017n 1
 n 1
 1 
 1 
 1 1 1 2017
Suy ra: un u1 ... 0,5 đ
 n 1 20171 20172 2017n 1 2016
 n 1
 1 
 1 
 n 2017
 u 2017 
 n 2016 0,5 đ
 n 1
 1 
 1 
 n 2017 1 1 ... 1 2018 2017
Lại có: 1 u 2017 n 2018 1 (Cô si) 1,0 đ
 n 2016 n n
 2017 
Mặt khác: lim 1 1. Vậy limun 1
 n 0,5 đ
Câu 3. ( 3 đ)
 Cho hai đường tròn O1 , O2 không bằng nhau và tiếp xúc ngoài tại T. Kẻ O1 A tiếp 
xúc với O2 tại A; O2B tiếp xúc O1 tại B sao cho các điểm A, B cùng nằm về một phía với 
đường thẳng bờ O1O2 . Lấy điểm H thuộc O1 A và điểm K thuộc O2B sao cho BH và AK cùng 
vuông góc với O1O2 . TH cắt O1 lần nữa tại E, TK cắt O2 lần nữa tại F. Gọi S là giao của 
AB và EF. Chứng minh ba đường thẳng O1 A , O2B và TS đồng quy.
Đáp án câu 3. Đáp án câu 4.
Gọi un là số cách phát đề thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cố định học sinh làm vị trí đầu tiên và các học sinh bên tay phải của học sinh đó là vị 
 0,5 đ
trí thứ 2, thứ 3, , thứ n ( học sinh thứ n ngồi cạnh học sinh thứ nhất)
Ta thấy:
 0,5 đ
+Nếu học sinh ở vị trí thứ nhất và học sinh ở vị trí thứ n-1 có đề khác nhau thì sẽ có 
8 cách phát đề cho học sinh thứ n
 0,5 đ
+Nếu học sinh ở vị trí thứ nhất và học sinh ở vị trí thứ n-1 có đề giống nhau thì sẽ có 
9 cách phát đề cho học sinh thứ n
 0,5 đ
Do đó ta có hệ thức : un = 8un-1 + 9un-2 , n 4 
Mặt khác: u = 10.9 = 90 và u = 10.9.8 =720 nên ta giải được u = 9n + 9(-1)n
 2 3 n 0,5 đ
 10 10
Vậy u10= 9 + 9(-1) = 3486784410 0,5 đ
Câu 5. ( 3 đ)
 Cho phương trình: x4 ax3 bx2 cx d 0 
 a) Với d 2017 , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
 4
 b) Với d 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 b2 c2 
 3
Đáp án câu 5.
a) d = -2017
 4 3 2
Đặt f (x) x ax bx cx 2013, ta có f(x) liên tục trên R. 0,5 đ
Ta có: f 0 2013 0
 Mặt khác lim f (x) , nên tồn tại 2 số 0; 0 sao cho f ( ) 0; f ( ) 0 . 
 x 
Do đó f (0). f ( ) 0 và f (0). f ( ) 0
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( ,0) 0,5 đ
và (0,  )
b) d=1: Gọi x0 là nghiệm của phương trình ( x0 0 )
 4 3 2 2 1 1
 x0 ax0 bx0 cx0 1 0 b x0 2 ax0 c
 x0 x0