Một số bài toán hình học nổi tiếng

 id931343 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! -   
 Biờn soạn : éinh Vón Cảnh 
 Lớp 9A4 
 Trýờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiờm 
 Niờn khúa : 2011 – 2012 
 MộT Số BàI TOáN HìNH Học nổi tiếng 
 _____________________ 
 1. éýờ thẳ Euler 
 Cho tam giỏc ABC cú H là trực tõm, G là trọng tõm, O là tõm ðýờng trũn ngoại tiếp. 
 Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng. 
 Chứ 
 Gọi E, F lần lýợt là trung ðiểm của BC, AC. Ta cú EF là ðýờng trung bỡnh của tam 
 giỏc ABC nờn EF // AB. Ta lại cú OF // BH (cựng vuụng gúc với AC). Do ðú 
 OFE ABH (gúc cú cạnh týừng ứng song A
 song). Chứng minh týừng tự OEF BAH . 
 Từ ðú cú ABH ~ EFO(g.g) 
 AH AB F
 2 (do EF là ðýờng trung bỡnh H
 OE EF O
 của tam giỏc ABC). Mặt khỏc G là trọng G
 AG
 tõm của tam giỏc ABC nờn 2 . Do ðú C
 GE B E
 AG AH 
 2 , lại cú HAG OEG (so le 
 EG OE
 trong, OE // AH). 
 HAG ~ EOG(c.g.c) HGA EGO . Do EGO AGO 180o nờn 
 HGA AGO 180o hay HGO 180o. 
 Vậy H, G, O thẳng hàng. 
 éýờng thẳng ði qua H, G, O ðýợc gọi là ðýờẳủ tam gi ABC. 
 Ngoài ra ta cũn cú OH 3OG . 
 2. éýờ thẳ Simson 
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp ðýờng trũn (O), M là một ðiểm bất kỡ trờn ðýờng trũn. Kẻ 
 MH, MI, MK lần lýợt vuụng gúc với AB, BC, AC. Chứng minh rằng ba ðiểm H, I, K 
 thẳng hàng. 
 Chứ minh A
 Tứ giỏc MIBH cú BHM BIM 90o 90o 180o nờn là tứ giỏc 
 nội tiếp MIH MBH (cựng chắn cung HM), mà tứ giỏc 
 K
 ABMC nội tiếp nờn MBH KCM , do ðú MIH KCM . I
 B C
 Mặt khỏc tứ giỏc KCMI nội tiếp (vỡ o ) nờn 
 MIC MKC 90 H
 o o o
 KCM MIK 180 MIH MIK 180 HIK 180 . M
 1 C kh 
 Gọi AS, BJ, CR là cỏc ðýờng cao của A
 tam gi ABC, D l tr t . Ta c 
 ỏc à ực õm ú Q
 J
 ANB AMB (tớnh chất ðối xứng). 
 Lại cú AMB ACB (cựng chắn cung R D P
 AB) và ACB ADJ (cựng bự với gúc 
 SDJ). N
 B S C
 Suy ra ANB ADJ nờn ADBN là tứ 
 giỏc nội tiếp, do ðú NAB NDB . 
 M
 Mà NAB MAB NDB MAB . 
 Chứng minh týừng tự CDQ CAM . Ta cú NDB CDQ MAB CAM BAC . 
 NDQ NDB BDC CDQ BAC BDC 180o . 
Vậy N, D, Q thẳng hàng hay ðýờng thẳng Steiner ði qua trực tõm của tam giỏc ABC. 
4. éýờ thẳ Gauss 
Cho tứ giỏc ABCD cú E là giao ðiểm của AB, CD và F là giao ðiểm của AD, BC. 
Chứng minh rằng trung ðiểm của ba ðoạn AC, BD, EF là ba ðiểm thẳng hàng. 
Chứ minh 
Gọi M, N lần lýợt là trung ðiểm của AC, BD. Ta cú 
 (1) 
 SEMN SEAD SEMA SEND SAMD SDMN
Do M, N là trung ðiểm của AC, BD nờn 
 1 1 1 1
 S S , S S , S S , S S (2) 
 EMA 2 ECA END 2 EBD AMD 2 ACD DMN 2 BMD
 E
 K
 B
 C I
 N
 M
 H
 F
 A D
 1 1 1 1
Từ (1) và (2) suy ra S S S S S S 
 EMN EAD 2 ECA 2 EBD 2 ACD 2 BMD
 1 1
 (S S S ) (S S S ) 
 2 EAD ECA ACD 2 EAD EBD BMD
 1
 (S S S ) (vì S S S 0 do S S S ) 
 2 EAD EBD BMD EAD EAC ACD EAD EAC ACD
 1 1 1 1 1 1 
 (SABD SBMD ) (SABM SADM ) SABC SACD SABCD
 2 2 2 2 2 4
 3 Ch  : 
 a) Tõm ðýờng trũn Euler nằm trờn ðýờng thẳng Euler. 
Thật vậy, gọi G và O theo thứ tự là trọng tõm và tõm ðýờng trũn ngoại tiếp tam giỏc 
 1
ABC. Ta chứng minh ðýợc OM AH SH , lại cú OM // SH OMHS là hỡnh 
 2
bỡnh hành. Mà I là trung ðiểm của SM nờn cũng là trung ðiểm của OH. 
Nh
 ý vậy bốn ðiểm H, I, O, G thẳng A
hàng, tức là tõm ðýờng trũn Euler nằm 
trờn ðýờng thẳng Euler. S
 R
 b) Bỏn kớnh ðýờng trũn Euler bằng 
 2 H
 (với R là bỏn kớnh ðýờng trũn ngoại tiếp 
ÄABC). Thật vậy, ta cú IS là ðýờng I G
 trung bỡnh của ÄAHO nờn O
 OA R
 IS . 
 2 2 B C
 M
6. éýờ 
Cho tứ giỏc ABCD cú E là giao ðiểm của AB và CD, F là giao ðiểm của AD và BC. 
Gọi M là ðiểm Miquel và O1, O2, O3, O4 lần lýợt là tõm ðýờng trũn ngoại tiếp của cỏc 
tam giỏc EBC, CDF, EAD, ABF. Chứng minh rằng nóm ðiểm M, O1, O2, O3, O4 cựng 
nằm trờn một ðýờng trũn. 
 F
Chứ H
Gọi H, I, K theo thứ tự là trung ðiểm của FM, BM, M
 O4
CM. Cỏc ðýờng trũn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và C A I
nờn O1O2 là ðýờng trung trực của MC, do ðú O1O2 
vuụng gúc với MK tại K. Týừng tự O1O4 vuụng gúc B K
 O1
với MI tại I, O2O4 vuụng gúc với MH tại H. 
 O2
 Núi cỏch khỏc H, I, K theo thứ tự là hỡnh chiếu của M 
tr O , O O , O O c O O . 
 ờn cỏc cạnh O2 4 1 4 1 2 ủa tam giỏc O1 2 4 O
D th BC v FB m 3
 ễ ấy IK // à IH // à F, B, C thẳng hàng C E
nờn H, I, K thẳng hàng. D
 Theo bài toỏn ðảo về ðýờng thẳng Simson (xem mục 
2) ta cú M, O1, O2, O4 cựng nằm trờn một ðýờng trũn. Týừng tự M, O1, O3, O4 cựng 
nằm trờn một ðýờng trũn. 
 Vậy nóm ðiểm M, O1, O2, O3, O3 cựng nằm trờn một ðýờng trũn. 
éýờng trũn ði qua nóm ðiểm M, O1, O2, O3, O4 ðýợc gọi là ðýờ. 
 5 9. C thứ Carnot 
 Cho tam giỏc ABC nhọn cú (O ; R) là ðýờng trũn ngoại tiếp. Gọi x, y, z theo thứ tự là 
khoảng cỏch từ O ðến BC, CA, AB, r là bỏn kớnh ðýờng 
trũn nội tiếp tam giỏc. A
 Chứng minh rằng x y z R r . 
Ch minh 
 ứ E
Kẻ OD  BC,OE  AC,OF  AB thỡ F
 O
 OD x, OE y, OF z . Tứ giỏc OECD nội tiếp nờn ỏp 
dụng ðịnh lớ Ptolemy (mục 18) ta ðýợc 
 B C
 OE.DC OD.EC OC.DE D
 a b c
 y. x. R. ay bx cR . 
 2 2 2
 Týừng tự az cx bR, bz cy aR . 
 Do ðú a(y z) b(x z) c(x y) (a b c)R . (1) 
Mặt khỏc 
 . (2) 
 ax by cz 2SBOC 2SAOC 2SAOB 2SABC (a b c)r
Từ (1) và (2) ta cú 
 a(x y z) b(x y z) c(x y z) (a b c)R (a b c)r 
 (a b c)(x y z) (R r)(a b c) x y z R r . 
Ch  : Nếu gúc A tự thỡ cụng thức Carnot cú dạng y z x R r . 
10. éị 
Cho tam giỏc ABC và cỏc ðiểm D, E, F lần lýợt nằm trờn cỏc cạnh BC, CA, AB. 
Chứng minh rằng ðiều kiện cần và ðủ ðể AD, BE, CF ðồng quy là ta cú hệ thức 
 DB EC FA
 . . 1. (*) 
 DC EA FB
Chứ 
éềệầ Ta chứng minh rằng nếu AD, BE, CF ðồng quy thỡ cú (*). 
Gọi K là ðiểm ðồng quy của ba ðoạn AD, BE, CF. Qua A vẽ ðýờng thẳng song song 
với BC cắt BE, CF ở M, N. Theo ðịnh lớ Ta-let ta cú 
 DB AM EC BC FA AN DB EC FA AM BC AN
 , , , do ðú . . . . 1 
 DC AN EA AM FB BC DC EA FB AN AM BC
(ðpcm). 
éềệðủ Ta chứng minh rằng nếu cú (*) thỡ 
AD, BE, CF ðồng quy. Thật vậy, gọi K là giao ðiểm N A M
của BE và CF, AK cắt cạnh BC tại D'. 
 Thế thỡ theo chứng minh ở ðiều kiện cần ta cú F E
 D'B EC FA D'B DB
 . . 1 . Hai ðiểm D và D' K
 D'C EA FB D'C DC
 B C
ðều chia trong ðoạn BC theo cựng một tỉ số nờn D
 D'  D . Vậy AD, BE, CF ðồng quy. 
 7 IN HC IQ BC IM HB IN IQ IM HC BC HB
 ; ; . Do ðú . . . . 1 
 IM BC IP HB IQ HC IM IP IQ BC HB HC
 IN
 1 IN IP . Lại cú IH  NP nờn tam giỏc HNP cõn tại H. 
 IP
Vậy HA là tia phõn giỏc của gúc EHF. 
14. éị l Napolon 
Cho tam giỏc ABC. Về phớa ngoài tam giỏc ta vẽ cỏc tam giỏc ðều BCD, ACE, ABF. 
Gọi M, N, P theo thứ tự là tõm của cỏc tam giỏc ðều 
 E
ðú. Chứng minh rằng MNP là tam giỏc ðều. 
Chứ minh 
Gọi I là giao ðiểm thứ hai của hai ðýờng trũn (N) và A
 
(P). Tứ giỏc AIBF nội tiếp cú F 60o nờn F N
 o o P
 AIB 120 . Týừng tự AIC 120 . Do ðú I
 BIC 120o tứ giỏc BICD nội tiếp hay I nằm trờn 
 C
ðýờng trũn (M). Cỏc ðýờng trũn (M) và (P) cắt nhau B
ở I và B nờn IB  MP ; cỏc ðýờng trũn (N) và (P) cắt 
nhau I v A n . 
 ở à ờn IA  PN M
 
 Lại cú AIB 120o nờn tớnh ðýợc P 60o . 
 
 Týừng tự N 60o . 
 Vậy tam giỏc MNP ðều. 
Ch  : Cỏc ðýờng thẳng AD, BE, CF ðồng quy tại I. D
Thật vậy, ta cú tứ giỏc BICD nội tiếp nờn 
 BID BCD 60o , do ðú AID 120o 60o 180o . Vậy AD ði qua I. 
Chứng minh týừng tự BE, CF cũng ði qua I. 
15. éị l Lyness 
Cho tam giỏc ABC nội tiếp ðýờng trũn (O). éýờng trũn (O') tiếp xỳc trong với (O) 
tại D và tiếp xỳc với AB, AC ở E, F. Chứng minh rằng EF ði qua tõm ðýờng trũn nội 
tiếp tam giỏc ABC. 
Chứ minh 
Vẽ tia phõn giỏc của gúc BDC cắt EF tại I ; gọi M, N là giao ðiểm của DF, DE với 
ðýờng trũn (O). Ta cú O'FD OMD ( ODM) nờn O'F // OM mà O'F  AC 
 1 
 OM  AC M là ðiểm chớnh giữa của cung AC, do ðú FDC ABC (1) 
 2
 9