Ôn tập kiến thức môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Phương trình mặt cầu

 CHUYÊN ĐỀ ƠN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHỊNG DỊCH COVID-19 
 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
 A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC 
I - Định nghĩa mặt cầu: 
 Tập hợp các điểm trong khơng gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O 
 và bán kính R. Kí hiệu SOR ; 
 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz: 
 1. Mặt cầu (S) tâm I a;; b c bán kính R cĩ phưong trình là : x a 2 y b 2 z c 2 R2 . 
 2. Phương trình : x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 với a2 b 2 c 2 d 0 
 là phương trình mặt cầu tâm I a;; b c , bán kính RABCD 2 2 2 . 
II - Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu S : 
  d I, R khi và chỉ khi khơng cắt mặt cầu S . 
  d I, R khi và chỉ khi tiếp xúc mặt cầu S . 
  d I, R khi và chỉ khi cắt mặt cầu S theo giao tuyến là 
 đường trịn nằm trên mặt phẳng (P) cĩ tâm K và cĩ bán kính 
 r R2 d 2 . 
III - Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng. 
 a) Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O lên và d=OH là khoảng cách từ O 
 đến 
 (H.3.1) (H.3.2) (H.3.3) 
  Nếu d<R thì cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1) 
  Nếu d=R thì cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2) 
  Nếu d>R thì khơng cắt mặt cầu (H.3.3) 
 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 1) Nhận biết. 
Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu 
 A. x2 y 2 z 2 10 xy 8 y 2 z 1 0. B. 3x2 3 y 2 3 z 2 2 x 6 y 4 z 1 0. 
 C. x2 y z 2 2 x 4 y z 9 0. D. 2x2 2 y 2 2 z 2 2 x 6 y 4 z 9 0. 
Câu 2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình của một mặt cầu? 
 A. x2 y 2 z 2 x 2 y 4 z 3 0. B. 2x2 2 y 2 2 z 2 x y z 0. 
 C. x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 10 0. D. 2x2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 y 6 z 3 0. 
Câu 3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu cĩ phương trình nào sau đây đi qua gốc tọa độ? 
 2 2 2 2 2 2
 A. S1 : x y z 2 x 4 y 2 0. B. S2 : x y z 4 y 6 z 2 0. 
 Page 1 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ƠN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHỊNG DỊCH COVID-19 
 A. 1; 11 . B. 1;10 . C. 1;11 . D. 10;2 . 
Câu 18. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 5 2 4. Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt 
cầu S ? A. Oxy . B. Oyz . C. Oxz . D. Cả A, B, C. 
Câu 19. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu nào sau đây tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxy ? 
 22 2 2 2 2
 A. S1 : x 1 y z 2 2. B. S2 : x 1 y 3 z 1 2. 
 2 2 2 2 2 2
 C. S3 : x 1 y 1 z 1. D. S4 : x y z 4 16. 
Câu 20. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu nào sau đây tiếp xúc với hai trục tọa độ Oy và Oz ? 
 22 2 2 2 2
 A. S1 : x 1 y z 2 2. B. S2 : x 1 y z 1. 
 2 2 2 2 2 2
 C. S3 : x 1 y 1 z 1. D. S4 : x 1 y 3 z 1 2. 
 3) Vận dụng thấp 
Câu 21. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 2,0,0 , B 0,4,0 , C 0,0,4 . Phương trình nào sau 
đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ)? 
 A. x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 0. B. x 1 2 y 2 2 z 2 2 9. 
 C. x 2 2 y 4 2 z 4 2 20. D. x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 9. 
Câu 22. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu S đi qua A 0,2,0 , B 2;3;1 , C 0,3;1 và cĩ tâm ở trên 
mặt phẳng Oxz . Phương trình của mặt cầu S là 
 A. x2 y 6 2 z 4 2 9. B. x2 y 3 2 z 2 16. C. x2 y 7 2 z 5 2 26. D. x 1 2 y2 z 3 2 14. 
Câu 23. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu S cĩ bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng Oyz và 
cĩ tâm nằm trên tia Ox. Phương trình của mặt cầu S là 
 A. S : x 2 2 y2 z 2 4. B. S : x2 y 2 2 z 2 4. C. S : x 2 2 y2 z 2 4. D. S : x2 y 2 z 2 2 4. 
Câu 24. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 3 2 y2 z 2 2 m 2 4. Tìm tất cả các giá trị của tham 
số m để mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng Oyz . 
 A. m 0. B. m 2. C. m 5. D. m 5. 
Câu 25. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho S : x a 2 y b 2 z2 2 cz 0 là phương trình mặt cầu, với 
a, b , c là các số thực và c 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 
 A. S luơn đi qua gốc tọa độ O. B. S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy . 
 C. S tiếp xúc với trục Oz. D. S tiếp xúc với các mặt phẳng Oyz và Ozx . 
Câu 26. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S cĩ phương trình x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 0. 
Mặt phẳng Oxy cắt S theo giao tuyến là một đường trịn. Đường trịn giao tuyến này cĩ bán kính r bằng 
 A. r 2. B. r 5. C. r 6. D. r 4. 
Câu 27. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 2 2 9 và điểm M thay đổi trên 
mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM bằng 
 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 
Câu 28 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0 và điểm A 4;4;0 . Gọi B a;; b c là 
điểm cĩ hồnh độ dương thuộc S sao cho tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tổng a b c bằng 
 A. 8. B. 0. C. 4. D. 8. 
Câu 29Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1,0,0 , B 0,2,0 , C 0,0,3 . Tập hợp các điểm 
M x;; y z thỏa MA2 MB 2 MC 2 là mặt cầu cĩ bán kính 
 A. R 2. B. R 2. C. R 2 2. D. R 4. 
 Page 3 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ƠN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHỊNG DỊCH COVID-19 
 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT 
 1) Đáp án 
1-B 2-C 3-C 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-A 
10-A 11-B 12-C 13-D 14-C 15-C 16-A 17-C 18-C 
19-B 20-B 21-B 22-D 23-C 24-D 25-B 26-B 27-B 
28-D 29-A 30-C 31-C 32-A 33-A 34-C 35-B 
 2) Hướng dẫn chi tiết các câu vận dụng từ 21 đến 35 
Câu 21. Gọi I a;; b c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
 2
 2 2 2 2 2 2 2
 IO IA a b c a 2 b c 4a 4 0 a 1
 2 2 2 2 2 22 2 
Ta cĩ IOIBabcab 4 c 8 b 16 0 b 2. 
 2 2 2 
 IO IC a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 4 8c 16 0 c 2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là R IO 12 2 2 2 2 3. 
Câu 22. Gọi tâm mặt cầu S là I a;0; b Oxz . 
 2 2 2 2 
 IA IB a 4 b a 2 9 b 1 a 1 I 1;0;3 
Ta cĩ . 
 IA IC 2 2 2 2 b 3 
 a 4 b a 9 b 1 R 14
Câu 23. Gọi I a;0;0 Ox với a 0 là tâm của S . 
 2 2 2 
Theo giả thiết, ta cĩ d I, Oyz R xI 2 a 2. Vậy S : x 2 y z 4. 
Câu 24. Mặt cầu S cĩ tâm I 3;0;2 , bán kính R m2 4. 
 S Oyz 2 
Để tiếp xúc với khi d I, Oyz R xI R 3 m 4 m 5. 
Câu 25. Viết lại S :. x a 2 y b 2 z c 2 c 2 
Suy ra S cĩ tâm I a;;, b c bán kính R c . 
Nhận thấy R c d I, Oxy  S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy . 
Câu 26. .Đường trịn giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy cĩ phương trình 
 2 2 2 2 2
 x 1 y 2 z 3 14 x 1 y 2 5
 . 
 z 0 z 0
Từ phương trình ta thấy đường trịn giao tuyến cĩ tâm J 1,2,0 Oxy và cĩ bán kính r 5. 
Câu 27. Từ phương trình S ta cĩ bán kính R 3. Dễ thấy O 0;0;0 thuộc S . 
Mà M thay đổi trên mặt cầu, do đĩ OM lớn nhất khi OM là đường kính của S . 
Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là 2R 2.3 6. 
 BS a2 b 2 c 2 4 a 4 b 4 c 0
 2 2 2 2 2
Câu 28. Theo giả thiết, ta cĩ OA OB a b c 32 . 
 OA2 AB 2 2 2 2
 4 a 4 b c 32
Giải hệ ta tìm được hai nghiệm a; b ; c 0;4;4 loại hoặc a; b ; c 4;0;4 . 
Câu 29. Ta cĩ MAMBMC2 2 2 x1 2 yzxy 2 2 2 2 2 zxyz 2 2 2 3 2 
 x2 y 2 z 2 246120 x y z x 1 2 y 2 2 z 32. 2 
 Page 5 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ ƠN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHỊNG DỊCH COVID-19 
 | 6 A |
 Tồn tại điểm M khi và chỉ khi d I, P R 3 3 A 15 
 3
 Do đĩ, với M thuộc mặt cầu S thì A x0 2 y 0 2 z 0 3. 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của P : x 2 y 2 z 3 0 với S hay M là hình chiếu 
 x0 2 y 0 2 z 0 3 0 t 1
 x0 2 t x0 1
 của I lên P . Suy ra M x0;; y 0 z 0 thỏa: 
 y0 1 2 t y0 1
 z0 1 2 t z0 1
 Vậy x0 y 0 z 0 1. 
Câu 35: Đặt BC a ; CA b ; AB c . 
 Gọi M , N lần lượt là trrung điểm của AB và CD . 
 Theo giả thiết ta cĩ tam giác ABC CDA c.. c c CM DM hay tam giác CMD cân tại M 
 MN  CD . 
 Chứng minh tương tự ta cũng cĩ MN AB . 
 Gọi I là trung điểm của MN thì IA IB và IC ID . 
 Mặt khác ta lại cĩ AB CD nên BMI CNI IB IC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
 ABCD . 
 MN2 AB 2 MN2 c 2
 Ta cĩ IA2 IM 2 AM 2 . 
 4 4 4
 2a2 2 b 2 c 2
 Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên CM 2 
 4
 2a2 2 b 2 c 2 c 2 a2 b 2 c 2
 MN2 CI 2 CN 2 . 
 4 4 2
 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 2 m 2 2 m 12 2 m 4 2 6m 12 28
 Vậy IA2 .Với 
 8
 2
 6 m 1 28 7 7 14
 Vậy IA2 IA . 
 8 2 min 2 2
 Page 7 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU