Ôn tập kiến thức môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Tích phân

 CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 
 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN 
 A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC 
 1. Khái niệm tích phân 
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm 
 của f trên K thì hiệu số F b F a được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là 
 b
 f x d x . 
 a
 b
 Người ta còn dùng kí hiệu F x để chỉ hiệu số F b F a . Như vậy nếu F là một nguyên 
 a
 b
 b
 hàm của f trên K thì f x d x F x . 
 a
 a
 2. Tính chất của tích phân 
 Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có 
 a b a
 1) f x d x 0; 2) f x d x f x d x ; 
 a a b
 b c c b b b
 3) f x d x f x d x f x d x ; 4) fx gxx d fxx d gxx d ; 
 a b a a a a
 b b
 5) kf x d x k f x d x với k . 
 a a
 3. Phương pháp đổi biến số 
 a) Phương pháp đổi biến số loại 1 
 b
 Giả sử cần tính tích phân I f x d x ta thực hiện các bước sau: 
 a
 Bước 1. Đặt x u t (với u t là hàm có đạo hàm liên tục trên  ;  , f u t xác định trên 
  ;  và u a, u  b ) và xác định ,  . 
  
 I fututt . d gttGt d  G G .
 Bước 2. Thay vào, ta có 
 Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1 
 Dấu hiệu Cách chọn 
 x asin t t ; 
 2 2 
 a x 2 2 
 x acos t t  0; 
 a 
 x t ; \ 0
 sint 2 2 
 x2 a 2 
 a 
 x t  0;  \ 
 cost 2  
 2 2 
 x a x atan t t ; 
 2 2 
 b) Phương pháp đổi biến số loại 2 
 Page 1 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 
 b b b b
 A. kf x dx k f x dx B. xf x dx x f x dx 
 a a a a
 b a b b b
 C. f x dx f x dx D. f x g x dx f x dx g x dx 
 a b a a a
 b b
Câu 6: Cho hàm số f x lirn tục trên khoảng a;, c a b c và f x dx 5, f x dx 1. Tính tích 
 a c
 c
phân I f x dx. A. I = 4 B. I = 5 C. I = 6 D. I = -5 
 a
 2
 dx 3
Câu 7: Tích phân I bằng:A. 0 B. 1 C. ln2 D. ln 
 x 2
 1
 1 1 2 2
Câu 8: Tính tích phân sin 3xdx A. B. C. D. 
 3 3 3 3
 0
 2 
Câu 9: Tính tích phân I sin x dx . A. I = -1 B. I = 1 C. I = 0 D. I 
 4 4
 0 
 1
 dx
Câu 10: Tích phân bằng A. log 2 B. 1 C. ln2 D. –ln 2 
 x 1
 0
 2) Thông hiểu. 
 4
Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm trên [1;4] và f 1 2, f 4 10. Giá trị của I f' x dx là 
 1
 A. I = 12 B. I =48 C. I = 8 D. I = 3 
 1 1
Câu 12: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ;1 thỏa mãn f'. x Biết 
 2 x x 1 
 1 1
 f 1 1, f ln3 b , a , b . Tổng a+b bằng 
 2 a
A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 
 1
Câu 13: Tích phân I ex 1 dx bằngA. e2 1 B. e2 e C. e2 e D. e e2 
 0
 1
 x a b 3
Câu 14: Biết I dx , với a, b là các số thực. Tính tổng T = a+b. 
 x x 9
 0 3 1 2 1
 A.T = -10 B. T = -4 C. T = 15 D. T = 8 
 2 4
Câu 15: Cho hàm số y f x liên tục trên R. Biết xf x2 dx 2, hãy tính I f x dx. 
 0 0
 1
 A. I = 2 B. I = 1 C. I D. I = 4 
 2
 Page 3 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 
 1 x2 x ex
Câu 27: Cho dx a. e b ln e c với a,,. b c Tính a 2 b c . 
 x 
 0 x e
 A. P = -1 B. P = 1 C. P = -2 D. P = 0 
 5
Câu 28: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;5] và f 5 10. x . f ' x dx 30. Tính 
 0
5
 f x dx A. -20 B. 70 C. 20 D. -30 
0
 1
Câu 29: Cho hàm số f x x4 4 x 3 2 x 2 x 1,  x . Tính f2 x .'. f x dx 
 0
 2 2
 A. B. 2 C. D. -2 
 3 3
 1
Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0;1] và f 1 f 0 2. Tính tích phân I f' x dx 
 0
 A. I = -1 B. I = 1 C. I = 2 D. I = 0 
 4) Cận dụng cao 
 e ln2x ln x ae 2 be 12
Câu 31: Biết rằng I dx với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b a là 
 3 2
 1 lnx x 1 8 e 2 
 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 
 3 x2 dx a 
Câu 32. Biết d 3, với a,,,. b c d Tính P a b c d 
 2
 0 xsin x cos x b c 3
 A. 9 B. 10 C. 8 D. 7 
 1
 2
Câu 33. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f 1 1, f x dx 9 và 
 0
1 1 1 5 7 2 6
 x3 f x dx . Tính tích phân f x dx bằngA. B. C. D. 
0 2 0 2 4 3 5
Câu 34. Cho hàm số f x có f x liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn 
 2x 11 1 
3f x f x 1 3 e biết f 0 . Giá trị f ln 6 bằng 
 3 2 
 1 5 6 5 6
 A. B. C. 1 D. 
 2 18 9
Câu 35. Giả sử hàm số y f x đồng biến trên 0; , y f x liên tục nhận giá trị dương trên 
 2 2
 0; và thỏa mãn f 3 , f x x 1 f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 3 
A. 2613 f 2 8 2614 B. 2614 f 2 8 2615 C. 2618 f 2 8 2619 D. 2616 f 2 8 2617 
 Page 5 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 
 2 x
 1 x x e 1 x 1 ex xe x
Câu 27: Ta có I dx dx. Đặt t xex 1 dt 1 x e x dx 
 x x 
 0x e 0 xe 1
 e 1 e 1
 t 1 1 e 1
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1. Khi đó I dt 1 dt t ln t e ln e 1 
 t t 1
 1 1 
Suy ra a 1, b 1, c 1. Vậy P a 2 b c 2. 
 5 5
 u x du dx 5
Câu 28: Đặt suy ra x.'. f x dx x f x f x dx 
 dv f' x dx v f x 0 
 0 0
 5 5
 30 5f 5 f x dx f x dx 5 f 5 30 20. 
 0 0
 1 1 33 3
 f x 1 f 1 f 0 2
Câu 29: Ta có f2 x .'. f x dx f 2 x d f x 
 3 0 3 3
 0 0
 1 1
Câu 30:. I f' x dx f x f 1 f 0 = 2 
 0
 0
Câu 31. 
 lnx ln x 1
 e2 e . x 1 t 1
 lnx ln x 2 lnx 1 ln x 
Ta có: I dx x x dx. Đặt t dt dx và 
 3 3 2 2
 1 lnx x 1 1 lnx 1 x x x e t 
 1 e
 x 
 2 2 2
 et e 1 1 2 t 1e e2 4 e 12
Khi đó I dt dt 
 3 2 3 2 2
 11 t 1 t 1 t 1 2 t 1 8 e 2
 1 
 3x2 dx 3 x xcos xdx 3 x d xsin x cos x 
Câu 32.. 
 2 2 2
 0 xsin x cos x 0cosx x sin x cos x 0 cos x x sin x cos x 
 3 3
 x 1 x 13 1 x 
 d . d 
 0cosxxxx sin cos cos xxxxxxx sin cos0 0 sin cos cos x 
 x 3 3 1
 dx 
 cosx x sin x cos x cos2 x
 0 0
 x 3 4 
 tanx 3 3 3 3 
 cosx x sin x cos x 0 1 3 1 3 3
 0 . 
 2 3 2 2 
 a 
 dabcd3,,, a 4,3,1,1 bcd abcd 9 
 b c 3
Câu 33. 
 Page 7 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN