Tài liệu Ôn tập kiến thức Đại số 10 - Bài: Tam thức bậc hai và ứng dụng (Nâng cao)

 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ ĐẠI SỐ 10
 TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG ( Nâng cao)
I. Một vài kiến thức cơ bản:
►Dấu của tam thức bậc hai:
Xét tam thức bậc hai: f (x) ax2 bx c (a 0)
 • Dấu của f(x) được mô tả như sau:
 + Nếu 0 x R
 b 
 + Nếu = 0 thì af (x) 0 x R f (x) 0 x 
 2a 
 + Nếu > 0 thì dấu của f(x) được thể hiện như sau:
 x x1 x2 
 f (x) af (x) > 0 0 af (x) 0
 • Hệ quả:
 + f (x) 0 , x R (a 0 và 0) .
 + f (x) 0 , x R (a 0 và 0)
 + f (x) 0 , x R (a 0 và 0)
 + f (x) 0 , x R (a 0 và 0)
► Phân tích tam thức bậc hai ra thừa số:
Xét tam thức bậc hai: f (x) ax2 bx c (a 0)
 + Nếu > 0 thì f (x) a(x x1)(x x2 ) (Với x1, x2 là hai nghiệm của tam thức)
 b
 + Nếu = 0 thì f (x) a(x x )2 (Với x )
 0 0 a
 + Nếu < 0 thì f(x) không phân tích được thành tích.
► So sánh nghiệm của tam thức với số 0:
 + Nếu P 0 : x1 0 x2
 + Nếu P 0 , 0 , S 0 : 0 x1 x2 
 + Nếu P 0 , 0 , S 0 : x1 x2 0
II. Một số ứng dụng khác của tam thức bậc hai:
II.1 Sử dụng tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức:
Cho tam thức bậc hai f (x) ax2 bx c (a 0)
Bài toán 1:
 a 0
 Muốn chứng minh f (x) 0,x R , ta chứng minh 
 0
 a 0
 Hoặc chứng minh f (x) 0,x R , ta chứng minh 
 0
Bài toán 2:
TỔ TOÁN Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ ĐẠI SỐ 10
 Chứng minh rằng: x, y : (ax + by)(x + y) cxy 1 
 Hướng dẫn
 Ta có: ax + by x y cxy ax2 a b c xy by2 0 2 
 Nếu y = 0 thì (2) ax2 0x (1) được chứng minh
 Nếu y 0, đặt t = x/y
 Khi đó (2) at 2 a b c t b 0
 Xét f t at 2 a b c t b
 2
 Có t a b c 4ab
 t a a b c b b c a c(c a b)
 Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên t 0 f (t) 0,t
 Vậy BĐT (1) được chứng minh.
 2
 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:x, y thì x y xy 1 (x y) 3(*)
 Hướng dẫn
 (*) x2 y2 xy 1 3x 3y 0
 Xét f x x2 y 3 x y2 3y 1
 Có (y 3)2 4(y2 3y 1)
 ( 3y 1)2
 0,y f (x) 0,x, y.
 Vậy (*) được chứng minh.
 5. Ví dụ 5:
 a. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 2 2 2
 pa qb pqc với p,q thoả mãn p + q = 1.
 b. Ngược lại cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn pa2 qb2 pqc2 và p + q = 1 thì a, b, c là độ dài ba 
cạnh của tam giác.
Hướng dẫn
 a. a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác
 a b c 0;a c b 0;b c a 0
 TỔ TOÁN Trang 3 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ ĐẠI SỐ 10
Hướng dẫn
 Chọn tam thức bậc hai sao cho tam thức đó có:
 2 2 2 2 2 2 2
 a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn 
 Ta luôn có:
 2 2
 a1x b1 ... an bn 0,x ¡
 2 2 2 2 2
 a1 ... an x 2 a1b1 a2b2 ... anbn x b1 ... bn 0,x ¡
 a a ... a 0
 1 2 n
 2 đpcm.
 ' a b ... a b a 2 ... a 2 b 2 ... b 2 0
 1 1 n n 1 n 1 n 
 a1 a2 an
 Dấu ‘=’ xảy ra a1x b1 a2 x b2 ... an x bn 0 ... 
 b1 b2 bn
III. Áp dụng bài toán 3:
 Muốn chứng minh 0 ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách 
 sau :
 1) Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x).
 2) Chỉ ra một số mà a. f ( ) 0. 
 3) Chỉ ra 2 số ,  sao cho f ( ). f ( ) 0 
1. Ví dụ 1: Cho a, b, c và m thoả mãn am2 c bm .Chứng minh rằng: b2 4ac
Hướng dẫn
 1. Nếu a = 0 thì b2 0 (luôn đúng)
 2. Nếu a 0
 Xét tam thức bậc 2: f(x) = ax2 bx c
 2 2 2
 Từ giả thiết am2 c bm ta có am c bm 
 am2 bm c am2 bm c 0
 f (m) am2 bm c
 Mà 2
 f ( m) am bm c
Nên f(m)f(-m) 0 hay tam thức bậc hai f(x) luôn có nghiệm
 TỔ TOÁN Trang 5 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ ĐẠI SỐ 10
 ' 0
 pq ac bd 2 p2 a2 b2 q2 c2 d 2 0
 pq ac bd 2 p2 a2 b2 q2 c2 d 2 
 đpcm.
* Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela)
 Cho a1 a2 ... an 0,b1,b2 ,...,bn ¡
 2 2 2 2 2 2 2
 Chứng minh rằng: a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a1b1 a2b2 ... anbn 
 II.2 Một số bài toán có chứa tham số
 2x2 ax 4
 Ví dụ 1: Tìm a để với mọi x R ta có: 6 4 (*)
 x2 x 1
 Giải:
 Ta có: x2 x 1 0, x R nên (*) 6x2 6x 6 2x2 ax 4 4x2 4x 4
 8x2 (a 6)x 2 0
 , (x R)
 2
 2x (a 4)x 8 0
 (a 6)2 64 0 (a 14)(a 2) 0 2 a 14
 2 a 4
 2 
 (a 4) 64 0 (a 4)(a 12) 0 12 a 4
 Vậy giá trị a cần tìm là: 2 a 4
 Ví dụ 2: Cho phương trình: 2mx2 x m 0 (*) . Chứng minh với mọi giá trị của m thì 
 phương trình trên luôn luôn có hai nghiệm thuộc đoạn  1;1
 Giải:
 + Với m = 0 thì (*) có nghiệm x = 0  1;1 . Vậy m = 0 nhận.
 + Với m 0 :
 Ta có: 1 8m2 0 , m R .
 c m 1 1 x1 1 1 x 1
 Mặt khác: x x x x 1 1 
 1 2 a 2m 2 1 2 2 1 x 1
 x2 1 2
 Vậy với mọi giá trị của m, phương trình luôn luôn có nghiệm x  1;1
 II.3 Một vài dạng toán khác:
 Ví dụ 1: Cho f (x) ax2 bx c , a 0 . Biết rằng phương trình f (x) x vô nghiệm. 
 Chứng minh phương trình f  f (x) x cũng vô nghiệm.
 Giải:
 f (x) x vô nghiệm f (x) x 0 vô nghiệm ax2 (b 1)x c 0 (*) vô nghiệm.
 Vì (*) vô nghiệm nên f (x) x 0, x R (do f (x) x cùng dấu với a)
 Vậy f (x) x, x R (1) f  f (x) f (x), x R (2) 
 TỔ TOÁN Trang 7 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ ĐẠI SỐ 10
 2
3. Cho 4 số a, b, x, y ¡ , chứng minh rằng: ax+by a2 b2 x2 y2 
Bài 2 : So sánh – 2 với nghiệm của phương trình 
f(x) = (m2 + 1)x2 – 5(m2 + 1)x – m2 + m – 1 = 0 
Bài 3 : Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm
 2
 a. mx + (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1 < 2 < x2 
 2
 b. (m + 1)x – (m – 3)x + m + 1 = 0 và thoả mãn -1 < x1 ≤ x2 
 2
 c. (m + 1)x + mx + 3 = 0 và thoả mãn x1 < - 2 < 1 < x2 
Bài 4 : Tìm m sao cho
 d. f(x) = 2x2 – 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0 x R
 e. f(x) = (m – 1)x2 – (m – 1)x + 1 – 2m ≤ 0 x R
Bài 5 : Tìm m để bất phương trình f(x) = mx2 – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm. 
 x 2 x 4
Bài 6 : Định m để 2 2 với x R
 x mx 4
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 f. (x2 + 2x)2 – 4m(x2 + 2x) + 3m + 1 = 0 
 g. x4 + mx3 + 2mx2 + mx + 1 = 0 
 Bài 8 : Tìm m để phương trình (m + 1)x2 – 3mx + 4m = 0 có duy nhất một nghiệm lớn hơn 1. 
 [VD3TTM25]
 Bài 9 : Tìm m sao cho f(x) = (m + 2)x2 – 2(m + 3)x – m + 3 > 0 với x ( ;1)
 Bài 10 : CMR phương trình f(x) = m(x2 – 9) + x(x – 5) = 0 luôn có nghiệm. 
 1 1
 Bài 11 : Giải và biện luận phương trình (1) 
 x 2 2mx 8x 6m 3
 3x 2 mx 5
 Bài 12 : Với giá trị nào của m thì: 1 6;x R 
 2x 2 x 1
 Bài 13 : Tim m để x 2 2mx m 2 0;x ( 1;2] 
TỔ TOÁN Trang 9