Tài liệu Ôn tập kiến thức Hình học 11 - Bài 1: Vectơ trong không gian

 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 HÌNH HỌC 11: 
 Chöông III: VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN. QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC
 Baøøi 1: VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
 A. KHUNG NỘI DUNG ÔN TẬP.
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.1. Các phép toán véctơ.
1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ.
2. BÀI TẬP MINH HỌA. (Có lời giải chi tiết).
3. LUYỆN TẬP. (Có đáp án – không cần lời giải chi tiết) 
3.1 Câu hỏi trắc nghiệm.
3.2. Bài tập cơ bản.
3.3. Bài tập nâng cao.
 B. NỘI DUNG
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.1. Các phép toán véctơ.
    
a. Qui taéc 3 ñieåm: AB BC AC
 B
 a 
 b
 A a b C
    
b. Qui taéc hình bình haønh: AB AD AC
 B C
 A D
     
c. Qui taéc hình hoäp: AB AD AA' AC '
 B C
A D
 C’
 B’
 A’ D’
d. Tích của một véctơ với một số. 
Cho soá k ≠ 0 vaø vectô a 0 . Tích cuûa a vôùi soá k laø moät vectô, kí hieäu k a, ñöôïc xaùc ñònh nhö 
sau:
+ cuøng höôùng vôùi a neáu k>0, + ngöôïc höôùng vôùi a neáu k<0
+ coù ñoä daøi baèng k a .
Qui öôùc: 0 a = 0 , k 0 = 0
TỔ TOÁN Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 Lời giải.
1. Söû duïng quy taéêcba ñieåm : 
Laáy (1) coäng vôùi (2) veá vôùi veá ta coù : 
Töông töï : 
2. Trong tam giaùc AGB coù GM laø trung tuyeán ,cho neân ,theo tính chaát cuûa veùc tô trung tuyeán ta coù 
Töông töï ,trong tam giaùc DMC vôùi GN laø trung tuyeán ta coù : 
Töø ñoù ,laáy (1) coäng vôùi (2) : 
Maït khaùc vôùi moät ñieåm P baát kyø ,ta xeùt caùc tam giaùc PAB ;PCD vaø PMN .Thöù töï coù caùc ñöôøng trung 
tuyeán PM,PN vaø PG .AÙp duïng quy taéc trung tuyeán ta coù 3 keát quaû sau .
Hay : 
Bài 2: Cho töù dieän ABCD .Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AD vaø BC .G laø troïng taâm 
cuûa tam giaùc BCD.Chöùng minh raèng :
Baøi giaûi :
Nhö ta daõ bieát ,trong tam giaùc BCD ,neáu G laø troïng taâm thì :
Theo quy taéc ba ñieåm ta coù :( Keát quaû cuûa bàiï 1).
b) Cuõng theo quy taéc ba ñieåm ,ta coù ba keát quaû sau : 
 VAÁN ÑEÀ 2: CHÖÙNG MINH BA VECTÔ ÑOÀNG PHAÚNG.
 PHAÂN TÍCH MOÄT VEC TÔ THEO BA VECTÔ KHOÂNG ÑOÀNG PHAÚNG CHO TRÖÔÙC
 Ñeå chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng, ta coù theå chöùng minh baèng moät trong caùc caùch:
 + Chöùng minh caùc giaù cuûa ba vectô cuøng song song vôùi moät maët phaúng.
 + Döïa vaøo ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: 
TỔ TOÁN Trang 3 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Baøi 2: Cho hình hoäp ABCD.EFGH. Goïi M, N, I, J, K, L laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AE, CG, 
AD, DH, GH, FG; P vaø Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa NG vaø JH.
    
 a) Chöùng minh ba vectô MN,FH,PQ ñoàng phaúng.
    
 b) Chöùng minh ba vectô IL,JK, AH ñoàng phaúng.
    
 HD: a) MN,FH,PQ coù giaù cuøng song song vôùi (ABCD).
    
 b) IL,JK, AH coù giaù cuøng song song vôùi (BDG).
 Baøi 3: Cho hình laêng truï ABC.DEF. Goïi G, H, I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AE, EC, CD, BC, BE.
    
 a) Chöùng minh ba vectô AJ,GI,HK ñoàng phaúng.
 FM CN 1
 b) Goïi M, N laàn löôït laø hai ñieåm treân AF vaø CE sao cho . Caùc ñöôøng thaúng veõ töø 
 FA CE 3
    
M vaø N song song vôùi CF laàn löôït caét DF vaø EF taïi P vaø Q. Chöùng minh ba vectô MN,PQ,CF ñoàng 
phaúng.
Baøi 4: Cho hình hoäp ABCD.A B C D . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD vaø DD ; G vaø G laàn 
löôït laø troïng taâm cuûa caùc töù dieän A D MN vaø BCC D . Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng GG vaø maët 
phaúng (ABB A ) song song vôùi nhau.
  1      
 HD: Chöùng minh GG ' 5AB AA' AB, AA',GG ' ñoàng phaúng.
 8
Baøi 5: Cho ba vectô a,b,c khoâng ñoàng phaúng vaø vectô d .
 a) Cho d ma nb vôùi m vaø n 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng:
 i) b,c,d ii) a,c,d
 b) Cho d ma nb pc vôùi m, n vaø p 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng 
 phaúng: i) a,b,d ii) b,c,d iii) a,c,d
 HD: Söû duïng phöông phaùp phaûn chöùng.
Baøi 6: Cho ba vectô a,b,c khaùc 0 vaø ba soá thöïc m, n, p 0. Chöùng minh raèng ba vectô 
x ma nb, y pb mc, z nc pa ñoàng phaúng.
 HD: Chöùng minh px ny mz 0 .
    
Baøi 7: Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A B C coù AA' a, AB b, AC c . Haõy phaân tích caùc vectô 
  
B'C,BC ' theo caùc vectô a,b,c .
   
 HD: a) B'C c a b b) BC ' a c b .
Baøi 8: Cho töù dieän OABC. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.
     
 a) Phaân tích vectô OG theo caùc ba OA,OB,OC .
     
 b) Goïi D laø troïng taâm cuûa töù dieän OABC. Phaân tích vectô OD theo ba vectô OA,OB,OC . 
  1     1    
 HD: a) OG OA OB OC b) OD OA OB OC .
 3 4
Baøi 9: Cho hình hoäp OABC.DEFG. Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp.
      
 a) Phaân tích hai vectô OI vaø AG theo ba vectô OA,OC,OD .
TỔ TOÁN Trang 5 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2/ Khi t=0, hãy biểu diễn véc tơ v 5OA 10.OB 15OC
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N 
đồng phẳng
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K là 
điểm trên B’C’ sao cho KC' 2KB . Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng
3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VEC TO TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1: Cho tứ diện ABCD . Khi đó quy tắc ba điểm được phát biểu là:
             
 A. AB AC AD B. AB AC BC C. AB BC AC D. AB AC BC . 
Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng nếu có hai trong ba véc tơ đó cùng phương.
B. Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng nếu có một trong ba véc tơ đó bằng 0 .
C. Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véc tơ đó có giá thuộc một mặt phẳng, 
hoặc cùng song song với một mặt phẳng .
D. Cho hai véc tơ không cùng phương a và b một véc tơ c trong không gian. Khi đó Ba 
véc tơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n duy nhất sao cho: c ma nb 
Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A B C D tâm O . Mệnh đề nào sau đây sai?
         
 A. OA OB OC OD 0 B. AB AD AA AC 
         
 C. AB AD AA 2AO D. AB AD AA O
    
Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Đặt DA a, DB b, DC c . Nếu M , N lần lượt là trung điểm 
của hai cạnh AD và BC thì
  1  1 
 A. MN (a b c) B. MN ( a b c) 
 2 2
  1  1 
 C. MN (a b c) D. MN (a b c)
 2 2
Câu 1.1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 B. Nếu trong ba vectơ a,b,c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 C. Nếu giá của ba vectơ a,b,c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng 
phẳng.
 D. Nếu trong ba vectơ a,b,c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng
  
Câu 1.2.Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và
  
 DD1 ?
 A. 450 B. 900 C. 1200 D. 600
TỔ TOÁN Trang 7 TÀI LIỆU ÔN TẬP TẠI NHÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
  1    
C. AG (b c d) D. AG b c d
 2
Câu 4. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Điều 
kiện cần và đủ để ABCD tạo thành hình bình hành là:
         
A.OA OB OC OD 0 .B. OA OB OC OD .
  1   1   1   1  
C. OA OB OC OD D. OA OC OB OD
 2 2 2 2
    
Câu 5. Cho tứ diện ABCD, biết AB a, AC b, AD c , M là trung điểm của BC. Tìm hệ 
thức đúng.
  1  1 
A. DM (a c 2b) B. DM (b c 2a)
 2 2
  1  1 
C. DM (a b 2c) D. DM (a 2b 2c)
 2 2
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A B C D , biết AC cắt (A BD) tại E, cắt (CB D ) tại F. Tìm hệ 
thức sai.
       
A. EA EB ED 0 .B. FC FB FD 0 .
      1  
C. AB AD AA 2AC D. EF AC .
 3
TỔ TOÁN Trang 9