Tài liệu Ôn tập kiến thức Hình học 12 - Chủ đề 2: Phương trình mặt phẳng

 TÀI LIỆU TỰ ÔN TẬP MÔN HÌNH HỌC 12
 Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Phần 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
A – Lý thuyến cần nhớ: 
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 , nhận vectơ n A; B;C làm vectơ pháp tuyến có 
 phương trình tổng quát: A x x0 B y y0 C z z0 0
 Hay Ax By Cz D 0, với D (Ax By Cz ) .
 0 0 0
 Mặt phẳng (P) song song với giá của hai véc tơ a,b a kb , khi đó vectơ pháp tuyến
 n a,b 
 Cho hai mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0 và (Q): A' x B ' y C ' z D ' 0.
 + P P Q n(P) kn(Q)
 + P  Q n(P).n(Q) 0
 Cho điểm M x0 ; y0 ; z0 và mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0. Khoảng cách từ điểm M đến 
 mặt phẳng (P) là: 
 Ax0 By0 Cz0 D
 d M ,(P) 
 A2 B2 C 2
B- Phương pháp giải
 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
 Phương pháp giải
 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ n(A; B;C) khác 0 là VTPT 
 là: A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 .
 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và song song với 1 
 mặt phẳng  : Ax By Cz D 0 cho trước.
 Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:
  
 1. VTPT của  là n A; B;C .
   
 2. //  nên VTPT của mặt phẳng là n n A; B;C .
 3. Phương trình mặt phẳng : A x x0 B y y0 C z z0 0.
 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.
 Phương pháp giải
   
 1. Tìm tọa độ các vectơ: AB, AC.
    
 2. Vectơ pháp tuyến của là : n AB, AC .
 3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C ).
  
 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n .
 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A , B và vuông góc với mp  .
 Phương pháp giải
  
 1. Tìm VTPT của  là n .
  
 2. Tìm tọa độ vectơ AB.
    
 3. VTPT của mặt phẳng là: n n , AB .
  
 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Page 1 TÀI LIỆU TỰ ÔN TẬP MÔN HÌNH HỌC 12
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
A(1;0; 2), B(1;1;1), C(0; 1;2) .
Lời giải
     
 Ta có: AB (0;1;3), AC ( 1; 1: 4) AB, AC (7; 3;1) .
   
 Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có n = AB, AC (7; 3;1) .
Chọn n (7; 3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là:
 7(x 1) 3(y 0) 1(z 2) 0 7x 3y z 5 0 .
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm 
A(1;2; 2), B(2; 1;4) và vuông góc với  : x 2y z 1 0.
Lời giải
  
 Có AB 1; 3;6 
  
 Mặt phẳng  có VTPT là n 1; 2; 1 .
Mặt phẳng ( ) chứa A , B và vuông góc với  nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: 
    
 n AB,n 15;7;1 .
  
 Phương trình mặt phẳng là: 15x 7z 1 27 0 .
Ví dụ 5 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 1; 2;5) và 
vuông góc với hai mặt phẳng (Q) : x 2y 3z 1 0 và (R) : 2x 3y z 1 0 .
Lời giải
   
 VTPT của (Q) là nQ (1;2; 3) , VTPT của (R) là nR (2; 3;1).
   
Ta có n ,n ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng (P) nhận n(1;1;1) là một VTPT .
 Q R 
 (P) đi qua điểm M( 1; 2;5) nên có phương trình là: x y z 2 0 .
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 
(Q) : x 2y 2z 1 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3.
Lời giải
 Trên mặt phẳng (Q) : x 2y 2z 1 0 chọn điểm M( 1;0;0) .
 Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
 x 2y 2z D 0 với D¹ 1.
 |- 1+ D | éD = - 8
Vì d((P),(Q)) = 3 Û d(M ,(P)) = 3 Û = 3 Û |- 1+ D |= 9 Û ê
 12 + 22 + (- 2)2 ëêD = 10
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2y 2z 8 0 và x 2y 2z 10 0.
Ví dụ 7 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 
(Q) : x 2y 2z 1 0 và (P) cách điểm M(1; 2;1) một khoảng bằng 3.
Lời giải
 Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 
x 2y 2z D 0 với D¹ 1.
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Page 3 TÀI LIỆU TỰ ÔN TẬP MÔN HÌNH HỌC 12
 A. x 3y 5z 8 0 B. x 3y 5z 8 0 C. x 3y 5z 8 0 D. x 3y 5z 8 0
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 và mặt phẳng
 : 4x 3y 12z 10 0 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song .
 4x 3y 12z 26 0
 A. 4x 3y 12z 78 0 B. 
 4x 3y 12z 78 0
 4x 3y 12z 26 0
 C. 4x 3y 12z 26 0 D. 
 4x 3y 12z 78 0
Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng qua M 1; 1;2 , N 3;1;4 và song song với trục Ox.
 A.3x 4y 4z 7 0 B. y z 0
 C. 4x z 1 0 D. y z 3 0
 x 13 y 1 z 4
Câu 5: Xác định m để đường thẳng d : cắt mặt phẳng P : mx 2y 4z 1 0 .
 8 2 3
 A. m 0 B. m 1 C. m 0 D. m 1
Câu 6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;-3;0), B(-2;9;7), C(0;0;1)
 A.9x 4y 9z 7 0 B.9x 4y 3z 3 0
 C.9x 4y 9z 9 0 D. 9x 4y 9z 9 0
Câu 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C trực 
tâm tam giác ABC là H (1;2;3) . Phương trình mặt phẳng (P) là:
 x y z x y z
A. x 2y 3z 14 0 B. x 2y 3z 14 0 C. 1 D. 0
 1 2 3 1 2 3
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C( 1;2; 2) và 
mặtphẳng (P): x 2y 2z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng( ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng 
(P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB 2IC . 
A. 2x y 2z 3 0 2x 3y 2z 3 0 B. 2x y 2z 3 0 2x 3y 2z 3 0
C. 2x y 2z 3 0 2x 3y 2z 3 0 D. 2x y 2z 3 0 2x 3y 2z 3 0
Câu 9: Cho điểm M(–3; 2; 4), gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng 
song song với mp(ABC) có phương trình là:
A. 4x – 6y –3z + 12 = 0B. 3x – 6y –4z + 12 = 0
C. 6x – 4y –3z – 12 = 0D. 4x – 6y –3z – 12 = 0
 x 1 y z 1
Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình và 
 2 1 1
mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất 
là:
A. 2x y 2z 1 0 B. 10x 7y 13z 3 0
C. 2x y z 0 D. x 6y 4z 5 0
Câu 11: Cho mặt phẳng :3x 2y z 6 0và điểm A 2, 1,0 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt 
phẳng có toạ độ:
A. 2; 2;3 B. 1;1; 1 C. 1;0;3 D. 1;1; 1 
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho phương trình mặt phẳng (P) :2x 3y 4z 5 0 . 
Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
A.n (2;3;5) B.n (2;3; 4) C.n (2,3,4) D. n ( 4;3;2)
Câu13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) có phương trình: 
x 3y 2z 1 0 . Mặt phẳng ( ) cóvéctơ pháp tuyến là:
A. n (1;3;5) B. n (1;2;3) C. n ( 1;3;5) D. n (1;3;2)
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Page 5 TÀI LIỆU TỰ ÔN TẬP MÔN HÌNH HỌC 12
 21 22 23 24 25
 C C B A D
TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Page 7