Tài liệu Tự ôn luyện thi đại học môn Toán

 NGUY N ð C TU N 
 T ƠN LUY N THI 
MƠN TỐN 
 Hà n i, 1 - 2005 T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 
 IV. ng d ng 
 1. ðiu ki n đ f(x) = ax 2 + bx + c khơng đi d u v i m i x 
 a = b = 0 a = b = 0
  
 c > 0 c ≥ 0
 f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔ 
 a > 0 a > 0
  
 ∆ < 0 ∆ ≤ 0
 a = b = 0 a = b = 0
  
 c < 0 c ≤ 0
 f(x) < 0 v i ∀ x ⇔ f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔ 
 a < 0 a < 0
  
 ∆ < 0 ∆ ≤ 0
 2. So sánh nghi m tam th c bc hai v i s  th c α 
 • < α < α
 ðiu ki n đ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t và x1 x 2 là: a.f( ) < 0. 
 • ðiu ki n đ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t và α n m ngồi kho ng hai 
 ∆ > 0
 nghi m:  
  (f.a α) > 0
 
 ∆ > 0
 
 α 
 - N u n m bên ph i hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0 
 
 S b
  = − < a
 2 a2
 
 ∆ > 0
 
 α α 
 - N u n m bên trái hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0 
 
 S b
  = − > a
 2 a2
 • ðiu ki n đ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m 
 nm ngồi đon [ α;β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 
 3. ðiu ki n đ f(x) cĩ nghi m th a mãn x > α : 
 • < α < ⇔ α
 Tr ưng h p 1: f(x) cĩ nghi m x1 x 2 a.f( ) < 0. 
 
 ∆ ≥ 0
 
 • α 
 Tr ưng h p 2: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  (f.a ) 0 
 
 α < S
  2
  (f α) = 0
 • α = < ⇔ 
 Tr ưng h p 3: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  S 
 α <
  2
 ( Làm t ươ ng t  v i tr ưng h p x < α và khi x y ra d u b ng) 
 Ngồi ra ta chú ý thêm đnh lí sau: Gi  s  hàm s  y = f(x) liên t c. Khi đĩ điu ki n đ 
ph ươ ng trình f(x) = m cĩ nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). 
 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 2 T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 
 Bài 2: PH ƯƠNG TRÌNH TRÙNG PH ƯƠ NG VÀ 
 PH ƯƠ NG TRÌNH CH A GIÁ TR  TUY T ð I 
I. Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ax 4 + bx 2 + c = a,0 ≠ 0 (1) 
 ðt t = x 2 ≥ 0 ph ươ ng trình (1) tr  thành: at 2 + bt + c = 0 (2) 
 • PT (1) cĩ nghi m khi và ch  khi (2) cĩ ít nh t m t nghi m khơng âm. 
 • PT (1) cĩ đúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ đúng m t nghi m d ươ ng. 
 • PT (1) cĩ đúng 3 nghi m phân bi t khi và ch  khi (2) cĩ m t nghi m b ng 0 và m t 
 nghi m d ươ ng. 
 • PT (1) cĩ đúng 4 nghi m phân bi t khi và ch  khi (2) cĩ hai nghi m d ươ ng phân 
 bi t. 
Ví d  1 . Cho ph ươ ng trình: x4 + (1-2m)x2 + m 2 – 1 = 0. 
 a)Tìm các giá tr  c a m đ ph ươ ng trình vơ nghi m. 
 b)Tìm các giá tr  c a m đ ph ươ ng trrình cĩ 4 nghi m phân bi t. 
Ví d  2. Tìm m sao cho đ th  hàm s  y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 
 ct tr c hồnh l n l ưt t i 4 đim phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD. 
II. Ph ươ ng trình ch a giá tr  tuy t đ i 
 1) Các d ng c ơ b n: 
 b ≥ 0
 | a | = b ⇔  | a | = | b | ⇔ a = ±b 
 a = ±b
 b < 0
 b ≥ 0 
 | a | ≤ b ⇔  | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0 
 2 ≤ 2 
 a b  2 2
 a ≥ b
 | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 
Ví d  1 . Gi i ph ươ ng trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. 
Ví d  2 . Gi i b t ph ươ ng trình x2 - | 4x – 5 | < 0. 
Ví d  3. Gi i và bi n lu n ph ươ ng trình | 2x – m | = x. 
Ví d  4. Gi i ph ươ ng trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. 
Ví d  5 . Gi i và bi n lu n b t ph ươ ng trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 
 2) Ph ươ ng pháp đ th : 
 a) Cách v  đ th  hàm s  y = | f(x) | khi đã bi t đ th  hàm s  y = f(x). 
 - Chia đ th  hàm s  f(x) ra 2 ph n: ph n đ th  n m phía trên tr c hồnh (1) và 
ph n đ th  n m phía d ưi tr c hồnh (2). 
 - V  ph n đ th  đ i x ng v i ph n đ th  (2) qua tr c hồnh đưc ph n đ th  
 (3). 
 - ð th  hàm s  y = | f(x) | là đ th  g m ph n đ th  (1) và ph n đ th  (3) v a 
 v. 
 b) ðnh lí: S nghi m c a ph ươ ng trình g(x) = h(m) là s  giao đim c a đưng th ng 
nm ngang y = h(m) v i đ th  hàm s  y = g(x). Khi g p ph ươ ng trình cĩ tham s  ta tách riêng 
chúng v  m t v  c a ph ươ ng trình r i v  đ th  hàm s  y = g(x) và đưng th ng y = h(m) r i áp 
dng đ nh lí trên đ bi n lu n. 
Ví d  6 . Tìm m đ ph ươ ng trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 cĩ 4 nghi m phân bi t. 
Ví d  7 . Bi n lu n theo m s  nghi m c a ph ươ ng trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. 
 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 4 T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 
 Bài 4: H PH ƯƠ NG TRÌNH ðI X NG 
I. H  ph ươ ng trình đi x ng lo i 1 
 1)Khái ni m: Là h  mà m i ph ươ ng trình khơng đi khi ta thay x b i y và thay y b i x. 
 2)Tính ch t: Nu (x o, y o) là m t nghi m c a h  thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 
 3)Cách gi i: 
 x + y = S
 Bi n đi h ph ươ ng trình v  d ng: H  đã cho ⇔  (1) 
  y.x = P
 Khi đĩ x, y là nghi m c a ph ươ ng trình: t 2 −St + P = 0 (2) 
 2
Nu ∆ = S – 4P > 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ hai nghi m t 1 ≠ t 2 nên h  ph ươ ng trình (1) cĩ hai 
nghi m phân bi t (t 1, t 2), (t 2, t 1). 
Nu ∆ = 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ nghi m kép t 1 = t 2 nên h  (1) cĩ nghi m duy nh t (t 1, t 2). 
ðiu ki n đ h  (1) cĩ ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0 
 ∆ = S2 − 4P ≥ 0
 
 S ≥ 0 
 
 P ≥ 0
 x + y = 2 x y + y x = 30 x − y − xy = 3
Ví d  1 .Gi i h ph ươ ng trình    
 3 + 3 = 2 + 2 + =
 x y 26 x x + y y = 35 x y xy 1
  x +1 + y −1 = m xy x( + )(2 y + )2 = 5m − 6
Ví d  2.Tìm m đ h  sau cĩ nghi m 
   2 2
 x + y = m2 − 4m + 6 x + y + x(2 + )y = 2m
II. H  ph ươ ng trình đi x ng lo i 2 
 1)Khái ni m: Là h  ph ươ ng trình mà trong h  ph ươ ng trình ta đi vai trị x, y cho nhau 
thì ph ươ ng trình n  tr  thành ph ươ ng trình kia. 
 2)Tính ch t: N u (x o, y o) là m t nghi m c a h  thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 
 3)Cách gi i: 
 Tr  v  v i v  hai ph ươ ng trình c a h  ta đưc ph ươ ng trình cĩ d ng: 
 (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0. 
 
 2 = + 1
 3 2 2 2 2x y
 x + xy = 40 y x y − 4 = y  y
Ví d  3.Gi i các h  ph ươ ng trình    
 3 + 2 = 2 − = 2
 y x y 40 x xy 4 x  2 1
 2y = x +
  x
 2x + y −1 = m x = y2 − y + m
Ví d  4.Tìm m đ h  sau cĩ nghi m:   
 2
 2y + x −1 = m y = x − x + m
 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 6 T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 
 Ch ươ ng 2: Ph ươ ng trình l ưng giác, m ũ, logarit 
 Bài 1: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯNG GIÁC 
I. Ph ươ ng trình l ưng giác c ơ b n 
 Khi gi i các ph ươ ng trình l ưng giác cu i cùng d n đ n phép gi i các ph ươ ng trình 
lưng giác c ơ b n. Ta c n ghi nh  b ng sau đây: 
 Ph ươ ng trình ðiu ki n cĩ nghi m ðư a v  d ng Nghi m 
 sinx = m −1 ≤ m ≤1 sinx = sin α x = α + k2π
  
 x = π − α + k2π
 cosx = m −1 ≤ m ≤1 cosx = cos α ± α + k2 π 
 tgx = m mi m tgx = tg α α + k π 
 cotgx = m mi m cotgx = cotg α α + k π 
  b ng trên k nh n m i giá tr  nguyên ( k ∈ Z ) . ðơ n v  gĩc th ưng dùng là radian. 
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh  giá tr  c a hàm l ưng giác t i các gĩc đ c bi t. ðưng 
trịn l ưng giác s  giúp ta nh  m t cách rõ ràng h ơn. 
 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 8