Tổng hợp bài tập về đường tròn môn Toán Lớp 10

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x22 y 2x 8y 8 0 . Viết phương 
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài 
bằng 6. 
 Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 A 
 3 4 mm 1
- IH là khoảng cách từ I đến d' : IH 
 55 K 
 2
 22 AB x+2y-5=0 
- Xét tam giác vuông IHB : IH IB 25 9 16 
 4
 2 C 
 m 1 m 19 d ':3 x y 19 0 B(2;-1) H 
 16 m 1 20 
 25 m 21 d ':3 x y 21 0 3x-4y+27=0 
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 2y 1 0 
 và đường thẳng d : x y 1 0. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến 
Hướng dẫn: 
- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với 
nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó 
AB=MI= IA 2 =R = 6 2 2 3 . 
- Ta có : MI 2 t 22 2 t 2 t 2 8 2 3 A 
 I(2;1) 
- Do đó : 
 tM 2 1 2; 2 1 M 
2tt22 8 12 2 . 
 tM 2 2; 2 1
 2 B 
* Chú ý : Ta còn cách khác x+y+1=0 
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có 
phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) . 
 22k kt t 
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R 6 
 1 k 2
 2 2 2 2 2
 2tkt 261 k ttkt 42222 tktt 420 
 tt2 4 2 0
- Từ giả thiết ta có điều kiện : ' 4 t2 t 2 2 4 t t 2 2 4 t 0 
 tt2 42
 1
 tt2 42
 t 26 1
 22 kk12 
- 't 19 t 0 t 22 k12 ; k M 
 2 kk12 1
 t 2
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x22 y 4 3 x 4 0 
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A 
Hướng dẫn: - (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : 
 16
 14
 12
 10
 Hướng dẫn:
 * Đường tròn (C) có tâm H(1;-2); bán kính 8
 R=5 tiếp xúc với đường thẳng (d) tại A'(4;2) 6
 * Tam giác ABC có trực tâm H, hai đỉnh B và C
 C thuộc (d) thì A' là chân đường cao thuộc BC 4
 và A thuộc (C) nên AA' là đường kính và A'
 2
 A(-2;-5) E
 * do trung điểm F của AB thuộc (C) nên
 25 20 15 10 5 5 10 15
 1
 HF//= A'B =>A'B=10 .Từ đây ta tìm được 2
 2 H
 tọa độ của B= (12;-4) 4
 B
 * Do C thuộc (d) nên tọa độ của C thỏa mãn
 6 F
 hệ thức:CA' =tA'B và CH . AB =0 => C(0;5). A
 Tọa độ các đỉnh của tam giác là : 8
 A=(-2;-5);B= (12;-4);C=(0;5) 10
 12 
Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 
(C ): x22 y – 2 x – 2 y 1 0, ('):C x22 y 4–5 x 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình 
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (CC ), ( ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB 
Hướng dẫn: * Cách 1. 
 x 1 at
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương u a;: b d 
 y bt
- Đường tròn CIRCIR1 : 1 1;1, 1 1. 2 : 2 2;0, 2 3 , suy ra : 
 2 2 2 2
 C12 : x 1 y 1 1, C : x 2 y 9 
 tM 0 2
 2 2 2 22ab b
- Nếu d cắt C1 tại A : a b t 2 bt 0 2b A 1 2 2 ; 2 2 
 t a b a b
 ab22 
 tM 0 2
 2 2 2 66a ab
- Nếu d cắt C2 tại B : a b t 6 at 0 6a B 1 2 2 ; 2 2 
 t a b a b
 ab22 
- Theo giả thiết : MA=2MB MA224* MB 
 2222
 2ab 2 b22 6 a 6 ab 
- Ta có : 2 2 2 2 4 2 2 2 2 
 a b a b a b a b
 22
 4ba 36 22 b 6 a d : 6 x y 6 0
 2 2 4. 2 2 ba 36 
 a b a b b 6 a d : 6 x y 6 0
* Cách 2. 
 1
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= . ( Học sinh tự làm ) 
 2
 22
Bài 9 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x y 4 y 5 0 và 
 22
 C2 : x y 6 x 8 y 16 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của C1 và C2 . 
 14 10 7 14 10 7 175 10 7
 a d:0 x y 
 21 21 21
Suy ra : 
 14 10 7 14 10 7 175 10 7
 a d:0 x y 
 21 21 21
 3 2
- Trường hợp : cab 2 1 : 7 ba 2 100 ab2 2 96 aabb 2 28 51 2 0 . Vô nghiệm . ( 
 2
Phù hợp vì : IJ 16 196 212 R R ' 5 15 20 400 . Hai đường tròn cắt nhau ) . 
Bài 11 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) 
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của 
AB 
 22
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) : x 1 y 3 4 I 1;3, R 2, PMC/( ) 11420 M 
nằm trong hình tròn (C) . 
 x 2 at
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương u a;: b d 
 y 4 bt
- Nếu d cắt (C) tại A,B thì : at 1 22 bt 1 4 a2 b 2 t 2 2 a b t 2 0 1 ( có 2 nghiệm t ) . 
Vì vậy điều kiện : ' a b 2 2 a2 b 2 3 a 2 2 ab 3 b 2 0 * 
- Gọi A 2 at1 ;4 bt 1 , B 2 at 2 ;4 bt 2 M là trung điểm AB thì ta có hệ : 
 4 a t1 t 2 4 a t 1 t 2 0
 tt12 0 . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được : 
 8 b t1 t 2 8 b t 1 t 2 0
 2 ab xy 24
 t t 0 a b 0 a b d : d : x y 6 0 
 12 ab22 11
Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I 
và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B 
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. 
Hướng dẫn: - (C) : x 1 22 y m 25 I (1; m ), R 5. 
 m
 yx 
 4
- Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì 22 
 mm 16 22 4 
 x 2 x m 24 0 1 
 16 4 
 2 mm 
- Điều kiện : ' m 25 0 m R. Khi đó gọi A x1;,; x 1 B x 2 x 2 
 44 
 2 2 2
 22m m 16 m 25
 AB x2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 8 
 16 4 m2 16
 m 45 m m
- Khoảng cách từ I đến d = 
 mm22 16 16
 1 1mm22 255m 25
- Từ giả thiết : S AB. d .8 . 4 5 m 2 12 
 2 2mm22 16 16 m 16
IA t 12 22 t m . Thay vào (1) : 
 t 1 22 t 2 m 3 2 
 2t22 2 m 1 t m 4 m 13 0 (2). Để trên d có 
đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều 
kiện : m2 10 m 25 0 m 5 2 0 m 5 .Khi đó (2) có nghiệm kép là : 
 m 1 5 1
t t t 3 A 3;8 
 1 2 0 22
Bài 16 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. 
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. 
 4xy 3 12 0
Hướng dẫn: - Gọi A là giao của d12, d A : A 3;0 Ox 
 4xy 3 12 0
- Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của d1 với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của 
d2 với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC 
là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0). 
 IA AC5 IA IO 5 4 OA 9
- Theo tính chất phân giác trong : 
 IO AO4 IO 4 IO 4
 4OA 4.3 4 4
 IO . Có nghĩa là I( ;0) 
 9 9 3 3
 1 1 15 1 AB BC CA 1 5 8 5 18 6
- Tính r bằng cách : S BC. OA .5.3 r . 
 2 2 2 2rr 2 15 5
 22 2 2
Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn : C1 : x y 13 và C2 : x 6 y 25 cắt 
nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt CC12 , theo hai dây cung có độ dài bằng 
nhau 
Hướng dẫn: 
- Từ giả thiết : CIRCJR12 : 0;0, 13. ; 6;0,'5 
 x 2 at
- Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương u a;: b d 
 y 3 bt
 x 2 at
 23ab 
 2 2 2
- d cắt C1 tại A, B : y3 bt a b t 2 2 a 3 b t 0 t 22 
 ab 
 22
 xy 13
 b 2 b 3 a a 3 a 2 b 
 B 2 2; 2 2 . Tương tự d cắt C2 tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ : 
 a b a b
 x 2 at
 2 4ab 3 10a2 6 ab 2 b 2 3 a 2 8 ab 3 b 2
 y 3; bt t C 
 a2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2
 2 2 
 xy 6 25
- Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình : 
 x 2
 2 ad 0 ; : 
 23b ab 22 yt 3
 10a 6 ab 2 b 2 
 2 2 2 2 4 6a 9 ab 0 
 a b a b 33 
 a b u b; b // u ' 3;2 
 22